In welchen Punkten x ∈ R sind die folgenden Funktionen stetig?

Question

Aufgabe:

In welchen Punkten x ∈ R sind die folgenden Funktionen stetig

f4 : R → R     f4(x)= { ^{xsin(1/x)   ,  x≠0} _{0, x=0}

Answer 1

Für x≠0 ist es nach den gängigen Sätzen überall stetig. An der Stelle 0 musst du

schauen, ob der Grenzwert für x gegen 0 gleich dem

angegebenen Funktionswert 0 ist. Dem ist so; denn $$\lim\limits_{x\to 0}x*sin(\frac{1}{x})$$

ist 0, weil der erste Faktor x für x gegen 0 natürlich gegen 0 geht

und der zweite ist beschränkt.

Also ist f auch stetig bei 0, somit also auf ganz R.