In welchen Punkten x ∈ ℝ ist diese Funktion f stetig?

Question

Wir betrachten die folgende Funktion f : ℝ→ℝ,

f(x)= { [(√x) - 1] / (x-1) für x≠1

          1/2             für x=1

In welchen Punkten x ∈ ℝ ist diese Funktion f stetig?

Was soll ich machen?

Answer 1

Wir betrachten die folgende Funktion f : ℝ →ℝ,

f(x)  = {   (√x - 1) / (x-1)   für x≠1

          {        1/2               für x=1

In welchen Punkten x ∈ ℝ ist diese Funktion f stetig?

f: ℝ₀⁺  →  ℝ    (für negative x ist f nicht definiert!) 

Als Komposition stetiger Funktionen ist f in ℝ₀⁺ \ {1}  stetig.

Für die Stetigkeit an der Nahtstelle x=1  muss  lim_x→1 f(x) = f(1)  gelten.

 x - 1 = (√x)² - 1²  =  (√x - 1) · (√x + 1)  nach der 3. binomischen Formel:

$$ \lim_{x \to 1} \frac { \sqrt{x}-1 }{ x-1} =\lim_{x \to 1} \frac { \sqrt{x}-1 }{ (√x-1)·(√x+1)} =\lim_{x \to 1} \frac { 1}{√x+1} = \frac { 1 }{ 2}= f(1)$$f ist also in ganz  ℝ₀⁺ stetig.

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Wenn man die Umformung mit der 3. bF  nicht sieht, kann man den Grenzwert [wegen lim_x→1   (√x - 1) / (x-1)  = "0/0"]  auch mit der Regel von Hospital berechnen: $$ \lim_{x \to 1} \frac { \sqrt{x}-1 }{ x-1} =\lim_{x \to 1} \frac { Z(x) }{N(x)}=_\color{green}{{RvH}}\lim_{x \to 1} \frac { Z'(x) }{N'(x)}= \lim_{x \to 1} \frac { \frac { 1 }{ 2·√x } }{ 1} =\frac { 1 }{ 2}= f(1)$$Gruß Wolfgang