An welchen Stellen x ∈ ℝ sind diese Funktionen stetig?

Question

Gegeben seien die Funktionen

(a) \( f_{1}(x)=|x+2|-x-2=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \geq-2 \\ -2 x-4, & x<-2\end{array}\right. \)

(b) \( f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x-1}{|x-1|}, & x \neq 1 \\ 1, & x=1\end{array}\right. \)

(c) \( f_{3}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-9 x+14}{x^{2}+3 x-10}, & x \neq 2, x \neq-5 \\ 0 & x=2, x=-5\end{array}\right. \)

An welchen Stellen \( x \in \mathbb{R} \) sind die Funktionen stetig?

Ansatz:

Kann man das über den rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen?

Answer 1

Irgendwie ist die Frage etwas ungeschickt formuliert, denn stetig sind die Beispiele fast an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs.

Interessant sind nur die möglichen wenigen Stellen, wo sie NICHT stetig sind.

So macht z. B. f2 nur an der Stelle x=1 Ärger, weil dort eine endliche Sprungstelle herumliegt (also nichts mit stetig bei x=1)

und:

f3 ist noch fieser: da könnte man zwar bei x=2 die Definitionslücke schliessen (also f3 stetig ergänzen) mit dem Wert - 5/7 ... ABER: da der Funktionswert bei x=2 mit 0 definiert vorgegeben ist, folgt:

f3 ist NICHT stetig bei x=2  ...aber du hast da immerhin was.

Besonders Hübsches im Bildchen, nämlich einen "Einsiedler"  (2|0)

Und da dann noch bei x= - 5 allerlei unendliche Sprünge vorliegen, hilft dort auch der Funktionswert 0 nicht, da was Stetiges vorzufinden.

Answer 2

Kann man das über den rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen?
Ja kann man, und bei a) wäre ja nur bei x=-2 die Sache fraglich, aber da sind die beiden
Grenzwerte gleich o, also auch dort stetig.