Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ an denen die folgenden Funktionen stetig sind.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R} \) an denen die folgenden Funktionen \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig sind:

(a) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}+6 x^{2}+11 x+6}{x^{2}+1}, & \text { falls } x<-1 \\ \frac{x^{2}+2 x+1}{x-7}, & \text { falls } x \in[-1,5] \\ \frac{3 x+3}{9-2 x}, & \text { falls } x>5\end{array}\right. \)

(b) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \cdot\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor, & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { falls } x=0\end{array}\right. \)

Dabei bezeichen wir die Gaußklammer, d.h. die nächst-kleinere ganze Zahl zu \( y \in \mathbb{R} \), \( \operatorname{mit}\lfloor y\rfloor:=\max \{n \in \mathbb{Z}: n \leq y\} \)

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für alle \( n \in \mathbb{Z} \backslash\{0, \pm 1, \pm 2\} \) gilt:
\( |f(x)|<\frac{1}{|n|-2} \quad \) für alle \( x \in\left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right] \)

(c) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { falls } x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \text { falls } x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right. \)

Ansatz/Problem:

(a) Hier muss man wohl Grenzwerte bilden

(b) Die Gaußklammer wird hier wohl benötigt und es müssen versch. Intervalle betrachtet werden

(c) Diese Funktion nennt sich Dirichlet Funktion. Man muss hier wohl die Epsilon-Delta-Definition benutzen.

Answer 1

c) ist jedenfalls an keiner Stelle stetig.

Denn sei x aus Q und epsilon = 0,5

Dann gibt in jeder delta-Umgebung von x auch

Elemente etwa ein y , die nicht aus Q sind , und damit ist

| x-y| < delta  aber | f(x) - f(y) | = | 1 - 0 | = 1 also

nicht kleiner als Epsilon.

Umgekehrt, wenn x nicht aus Q ist, gibt es aber in jeder

Delta-Umgebung von x ein y aus Q und damit ist wieder

| f(x) - f(y) | = 1 .

a) Für x < - 1 ist alles stetig, da gebr. rat. Funktion.

bei x=1 musst du schauen, ob der GW der oberen Bruches für x gegen -1 

der gleiche ist wie der Wert des zweiten Bruches bei x= - 1 .

Beides ist 0 , also f stetig bei x=-1

von -1 bis 5 ist wieder alles stetig wegen gebr. rat. fkt.

und der zweite Bruch hat bei x=5 den Wert -18

und der 3. Bruch hat für x gegen 5 auch den GW -18, also

auch bei 5 stetig.

Da es auch keine Definitionslücken gibt, denn die Nenner werden

im jeweils betrachteten Bereich nicht 0, ist

f stetig auf ganz IR.

Comments

Danke schon einmal.

Aber wo steht denn bei der (a), dass x=1 sein soll?

bei x=1 musst du schauen, ob der GW der oberen Bruches für x gegen -1 

der gleiche ist wie der Wert des zweiten Bruches bei x= - 1 .

Beides ist 0 , also f stetig bei x=-1

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nix x = 1  sondern x = -1

bei x= - 1 sind die beiden Funktionen zusammengeflickt.

Deshalb musst du den Grenzwert für x gegen - 1 von der

einen Funktion, den Grenzwert für x gegen -1 von der anderen

Funktion und den Funktionswert ( das ist hier der von der

zweiten ) vergleichen.

wenn alle gleich sind, ist die Funktion dort stetig.

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Ah okay, danke. Habe es verstanden und nachvollziehen können.

Wie geht denn der Aufgabenteil (b) mit der Gaußklammer?