Zeigen Sie, dass es ein x ∈ ℝ gibt, sodass Lösung im Intervall. (x^7 + 2·x^6 + 8·x^5 - 9)/(x^6 + 34·x^4 + 4) = 17

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es ein \( x \in \mathbb{R} \) gibt, sodass

\( \frac{x^{7}+2 x^{6}+8 x^{5}-9}{x^{6}+34 x^{4}+4}=17 \)

und geben Sie \( a, b \in \mathbb{Z} \) an, sodass sich eine Lösung \( x \) im Intervall \( [a, b] \) befindet.

ABS

Hier muss man die Funktion wohl erst irgendwie umformen, dass f(x)=0 dort steht und dann den Zwischenwertsatz benutzen.

Answer 1

dein Ansatz ist schon korrekt, sehe aber nicht genau deine Schwierigkeit...

$$ f(x) = \frac{x^7+2x^6+8x^5-9}{x^6+34x^4+4}-17 $$

Offensichtlich ist \(f(x)\) auf ganz \(\mathbb{R} \) stetig.

Wähle jetzt einfach \(a,b \in \mathbb{Z} \) mit \(a<b\) so dass \(f(a)<0\) und \(f(b)>0 \) und argumentiere mit dem ZWS.

Gruß

Answer 2

(x^7 + 2·x^6 + 8·x^5 - 9)/(x^6 + 34·x^4 + 4) = 17

Der Nenner wird nie Null.

x^7 + 2·x^6 + 8·x^5 - 9 = 17·(x^6 + 34·x^4 + 4)

x^7 + 2·x^6 + 8·x^5 - 9 = 17·x^6 + 578·x^4 + 68

x^7 - 15·x^6 + 8·x^5 - 578·x^4 - 77 = 0

Ein Polynom 7. Grades hat ja immer mind. eine Nullstelle.

Man kann man eine Wertetabelle machen.

[-100, -115137800000077;
-90, -55886466780077;
-80, -24953569280077;
-70, -10027488380077;
-60, -3512911680077;
-50, -1021737500077;
-40, -227578880077;
-30, -33467580077;
-20, -2358080077;
-10, -31580077;
0, -77;
10, -9980077;
20, 253119923;
30, 10661219923;
40, 101739519923;
50, 545762499923;
60, 2098249919923;
70, 6470262819923;
80, 17041899519923;
90, 39867391619923;
100, 85022199999923]

Es existiert also eine Nullstelle zwischen 10 und 20

[10, -9980077;
11, -14260411;
12, -18952781;
13, -23191609;
14, -25431469;
15, -23186327;
16, -12714061;
17, 11358779;
18, 56477011;
19, 132666701;
20, 253119923]

Wir können die Nullstelle jetzt noch weiter eingrenzen zwischen 16 und 17.

Comments

Vielen Dank schon einmal.

Muss man jetzt noch weiter ausprobieren, also mit 16,1 ; 16,2 ....

oder reicht das so?

Was wäre dann a und was b  ?

LG

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Nein. Genauer musst du das nicht machen. Es genügt auch die Antwort von Yakyu.

Die Funktion hat keine Unstetigkeitsstellen, da der Nenner nie kleiner als 4 sein kann.

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Der Nenner kann nie kleiner als 4 sein, weil der Nenner ja nicht 0 sein darf, oder?

Und genaue Werte für a, b muss ich nicht angeben?

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Der Nenner kann nie kleiner als 4 sein, weil der Nenner ja nicht 0 sein darf, oder?

Das ist keine Begründung!

Der Nenner kann nie kleiner als 4 sein, weil x^4 und x^6 für x aus R nicht negativ sein  können.