Zeigen Sie: f hat eine Nullstelle in ℝ. (Zwischenwertsatz Polynomfunktion ungerade)

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Polynomfunktion von ungeradem Grad, d.h.

\( f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \text { mit } a_{n} \neq 0 \text { und } n \text { ungerade. } \)

Zeigen Sie: \( f \) hat eine Nullstelle in \( \mathbb{R} \).

Hinweis: Zwischenwertsatz.

Ansatz/Problem:

Hier muss laut Aufgabe wohl der Zwischenwertsatz verwendet werden. Und die Funktion erstmal als Summe geschrieben werden. Und der Grenzwert bestimmt werden.

Answer 1

Sein an > 0 gilt:

lim (x → -∞) f(x) = -∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Sein an < 0 gilt:

lim (x → -∞) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = -∞

Der Zwischenwertsatz besagt aber nun genau folgendes: Ist bei einer über ganz R stetigen Funktion an einer Stelle der Funktionswert negativ und an einer anderen Stelle positiv, so gibt es zwischen diesen Stellen immer mind. eine Nullstelle.