Wie kann man beweisen, dass Polynom p(x) = x^n - α eine positive Nullstelle hat? (Beweis mit Zwischenwertsatz)

Question

Beweis mit Zwischenwertsatz:

Wie kann man beweisen, dass Polynom \( p(x)=x^{n}-\alpha \) mit \( \alpha>0 \) und \( n \in \mathbb{N} \) eine positive Nullstelle hat?

Ansatz:

Ich denke, man kann mithilfe der Bernoullischen Ungleichung \( (1+x)^{n} \geq 1+n x \) zeigen, dass x ≥ -1 ist. Aber wie kann ich das Polynom umformen um das zu zeigen?

Answer 1

schau dir mal das Intervall [0, 1+α] an und benutze deine hübsche Ungleichung...und natürlich den ZWS ;)

Gruß

Comments

ich verstehe nicht so gut warum betrachten wir das Intervall  [0, 1+α] hier?

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Was brauchen wir denn um mit dem Zwischenwertsatz zu zeigen, dass es ein x gibt mit p(x) = 0?

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hm, das liegt wahrscheinlich an meinen Kenntnissen aber ich kann gar nicht nachvollziehen wie ich das lösen kann... Danke trotzdem für den Tipp:)

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wir haben jetzt gezeigt, dass Grenzwert existiert:

f(α+1)=(1+α)n−α>0

f(α+1)=(1+α)n−α>0f(α+1)=(1+α)n−α>0

aber wie kann ich zeigen , dass es positiv ist?

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Ja du solltest unbedingt an deinen Kenntnissen arbeiten! Wenn man die Grundlagen nicht versteht kann man solche Aufgaben auch nicht beantworten und wird in Zukunft gar nicht mehr klar kommen.

1. Muss man nicht zeigen, dass der Grenzwert existiert.

2. Ist f(a+1) = (a+1)^n - a, an dieser Stelle solltest du die Ungleichung anwenden. Das wurde dir aber doch schon gesagt.

Es gilt f(a+1)  ≥ 1+n(a+1)-a = 1+n +(n-1)a > 0

Das der Term positiv ist müsste eigentlich klar sein (Summe aus positiven Zahlen)