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Aufgabe:

Sei f : RR f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} stetig und es gelte

f(q)=0 fu¨r alle qQ f(q)=0 \quad \text { für alle } q \in \mathbb{Q}

Zeigen Sie: Dann ist sogar f(x)=0 f(x)=0 für alle xR x \in \mathbb{R} .

Folgern Sie: Sind f,g : RR f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} zwei stetige Funktionen mit

f(q)=g(q) fu¨r alle qQ f(q)=g(q) \quad \text { für alle } q \in \mathbb{Q}

so gilt f=g f=g .


Ansatz/Problem:

Hierzu benötigt man wohl die Epsilon-Delta Definition. Und man muss die Differenz von f und g betrachten.

Wie zeige ich denn dadurch, dass f(x) = 0 ist?

Avatar von

Mache einen Widerspruchsbeweis (und beachte, dass in jeder Umgebung einer irrationalen Zahl eine rationale Zahl liegt).

Und für den zweiten Teil hattest du schon die richtige Idee: Betrachte h : =fgh:=f-g.

1 Antwort

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Sei x€R, so gibt es eine Folge (xn)_(n€N) mit xn€Q und mit lim xn = x.

N.V. gilt f(xn) = 0 für alle n.

Weil f stetig ist, gilt f(x) = lim_(n->unendlich) f(xn) = 0 .

q.e.d. erster Teil.

2. Teil. Betrachte h(x) = f(x) - g(x)

Avatar von 162 k 🚀

Okay, so habe ich den ersten teil auch ungefähr.

Wenn ich f(x) - g(x) betrachte, was muss ich dabei denn für x, bzw. f und g einsetzen?

2. Teil

Für alle q €Q gilt h(q) = f(q) - g(q) = 0

Daher gemäss 1. Teil (Differenzen von stetigen Funktionen sind stetig)*.

Für alle x€R gilt 0=h(x) = f(x) - g(x).

==> Für alle x€R gilt f(x) = g(x)

q.e.d.

Anmerkung: Verweise bei den verwendeten Tatsachen wie * auf die entsprechende Stelle im Skript.

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