Stetige Funktionen f(q) = 0 für alle q € Q. Zeige f(x)=0 für alle x Element R Delta Epsilon.

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und es gelte

\( f(q)=0 \quad \text { für alle } q \in \mathbb{Q} \)

Zeigen Sie: Dann ist sogar \( f(x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

Folgern Sie: Sind \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) zwei stetige Funktionen mit

\( f(q)=g(q) \quad \text { für alle } q \in \mathbb{Q} \)

so gilt \( f=g \).

Ansatz/Problem:

Hierzu benötigt man wohl die Epsilon-Delta Definition. Und man muss die Differenz von f und g betrachten.

Wie zeige ich denn dadurch, dass f(x) = 0 ist?

Comments

Mache einen Widerspruchsbeweis (und beachte, dass in jeder Umgebung einer irrationalen Zahl eine rationale Zahl liegt).

Und für den zweiten Teil hattest du schon die richtige Idee: Betrachte \(h:=f-g\).

Answer 1

Sei x€R, so gibt es eine Folge (xn)_(n€N) mit xn€Q und mit lim xn = x.

N.V. gilt f(xn) = 0 für alle n.

Weil f stetig ist, gilt f(x) = lim_(n->unendlich) f(xn) = 0 .

q.e.d. erster Teil.

2. Teil. Betrachte h(x) = f(x) - g(x)

Comments

Okay, so habe ich den ersten teil auch ungefähr.

Wenn ich f(x) - g(x) betrachte, was muss ich dabei denn für x, bzw. f und g einsetzen?

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2. Teil

Für alle q €Q gilt h(q) = f(q) - g(q) = 0

Daher gemäss 1. Teil (Differenzen von stetigen Funktionen sind stetig)*.

Für alle x€R gilt 0=h(x) = f(x) - g(x).

==> Für alle x€R gilt f(x) = g(x)

q.e.d.

Anmerkung: Verweise bei den verwendeten Tatsachen wie * auf die entsprechende Stelle im Skript.