Funktion Element R Stetigkeit. f(x+y) = f(x) + f(y). Zeige f(0) = 0 und f(-x) = -f(x)

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, die fiur alle \( x, y \in \mathbb{R} \)

\( f(x+y)=f(x)+f(y) \)

erfüllt.

Zeigen Sie:

(i) \( f(0)=0 \) und \( f(-x)=-f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

(ii) Ist \( f \) im Punkt 0 stetig, so ist \( f \) in allen Punkten \( x \in \mathbb{R} \) stetig.

Ansatz/Problem:

Für (i) muss man x=y=0 setzen und Beweis Punktsymmetrie y= -x

Bei der (ii) muss man ja zeigen, dass f im Punkt x stetig ist.

Dazu braucht man wohl das Folgekriterium und die Additivität von f.

Comments

Ja das könntest du jeweils so zeigen. Wo genau ist jetzt die Frage?

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Reicht das, wenn ich schreibe:

(a)

f(0+0) = f(0) + f(0)

somit gilt: f(0) = 0     ?

und

f(x+(-x)) = f(x) + f(-x)

somit gilt: f(-x)= -f(x)  ?

und wie ich die (ii) verfasse weiß ich leider nicht.

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Beim ersten ja, beim zweiten wäre nicht schlecht wenn du noch dazu schreiben würdest f(x+(-x)) = f(0) = 0, damit die Folgerung klarer ist (ich denke mal die Absicht der Aufgabe ist es hier auch alle Zwischenschritte anzugeben).

zu (ii) notiere dir erstmal das Folgenkritierium für die Stetigkeit in x=0. Dann benutze das Folgenkritierium und die Additivität um die Stetigkeit für ein beliebiges x zu zeigen.

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Leider weiß ich ja nicht, wie das Folgenkritierium für die Stetigkeit in x=0 lautet.

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Für alle Folgen \((x_n)_n \subset \mathbb{R} \) mit \(x_n \to 0 \) für \( n \to \infty\) gilt: \(\lim f(x_n) = f(0) = 0 \).