Grenzwert bestimmen von lim x->oo : x / Wurzel(x^2+1)

Question

Gegeben habe ich: lim x->oo : x / Wurzel(x^2+1)

Wenn ich die Regel von de l'Hospital anwende, dann bringt mir das irgendwie nicht viel. 

Leite beides ab und komme auf: 1 / (1/ 2*√(x^2+1) * 2x) . Da geht das (1/ 2*√(x^2+1) gegen 0 , wenn ich oo einsetze. Wie mach ich das denn? 

 

Außerdem habe ich auch noch die Fkt lim x->0⁺ : x*ln²(x) . Wie funktioniert das hier? Muss ich da wieder mit l'Hospital ran? aber das bringt ja auch nichts ... hmm 

Comments

Erster Grenzwert ist nicht schwer mit etwas Erfahrung oder einem guten Blick:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}= \frac{x}{\sqrt{x^2\cdot(1+\frac{1}{x^2})}}=\frac{x}{x\cdot \sqrt{(1+\frac{1}{x^2})}}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{(1+\frac{1}{x^2})}}$$

Ich habe bei den Zwischenrechnungen mal den Limes weggelassen: Wegen der  Übersichtlichkeit.

Schaffst du den letzten Schritt allein?

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Was zur Hölle machst du da am Anfang? Wieso kannst du x² ausklammern? :O und dann ziehst du es auch noch aus der Wurzel? Das verstehe ich nicht..

 

... anscheind geht das Ganze gegen 1/1 = 1 

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Bitte nicht fluchen,. Ich hoffe doch du kennst die Wurzelgesetze $$  \sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a*b} $$

In deinem Fall ist a=x^2 und b=(1+1/x^2) und n=2

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Entschuldige. Aber woher kommt das 1/n² ?

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ah! Habe verstanden.

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$$\lim_{x\to0}x\ln^2x=\lim_{x\to0}\frac{\ln^2\frac1x}{\frac1x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln^2x}x=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2\ln x}x}1=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac2x}1=0.$$

Answer 1

lim (x → ∞) x/√(x^2 + 1)

= lim (x → ∞) √(x^2)/√(x^2 + 1)

= lim (x → ∞) √(x^2/(x^2 + 1))

= lim (x → ∞) √(1/(1 + 1/x^2)) = 1


lim (x → 0+) x·LN(x)^2

= lim (x → 0+) LN(x)^2 / (1/x)

L'Hospital

= lim (x → 0+) (2·LN(x)/x) / (- 1/x^2)

= lim (x → 0+) - 2·x·LN(x)

= lim (x → 0+) - 2·LN(x) / (1/x)

L'Hospital

= lim (x → 0+) (- 2/x) / (- 1/x^2)

= lim (x → 0+) 2·x = 0