Fragen zum Kreuzprodukt. Kreuzen sie alle richtigen Antworten an.

Question

Wir definieren auf $V=\mathbb{R}^{3}$ das Kreuzprodukt $\times: V^{2} \rightarrow V$ durch

$u \times v=\left(\begin{array}{l}u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2} \\ u_{3} v_{1}-u_{1} v_{3} \\ u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\end{array}\right)$.

Kreuzen sie alle richtigen Antworten an.

Antworten:

1. Das Kreuzprodukt ist bilinear.

2. Das Kreuzprodukt ist antisymmetrisch.

3. Das Kreuzprodukt ist alternierend.

4. Das Kreuzprodukt ist scherungsinvariant.

5. Es gilt $(u \times v) \perp u$ und $(u \times v) \perp v$

Answer 1

Zu jedem dieser Begriffe gibt es Definitionen. Du musst dann einfach nur noch nachrechnen. Das ist reine Fleißarbeit.

... Ist das schwer?

Nein. Eigentlich ist das sogar recht einfach.

Voraussetzung du bist des Lesens mächtig.

Siehe z.B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Comments

Ich hätte schon mal 1,2 und 3 als richtige Lösung. Wie sieht es mit 4 und 5 aus? Kann mir da jemand helfen

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Doch. Sag und doch mal was Scherungsinvariant ist und wie man das berechnen kann und was die komischen mathematischen Ausdrücke bei 5 bedeuten.

Aber wenn du das weißt, dann kannst du die Frage auch eigentlich selber beantworten.

Ich will nur nicht für dich in dein Skript schauen, um dir die wichtigen Stellen anzustreichen.

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Also bei 5 soll das bedeuten, dass das Kreuzprodukt aus u und v teilerfremd zu u und v ist.

Und scherungsinvariant bedeutet, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms sich nicht ändert, wenn man parallele Strecken gegeneinander verschiebt. Die dahinter stehende geometrische Abbildung nennt man Scherung. Im einfachsten Fall kann man (u,v) als orientierten Flächeninhalt eines Parallelogramms deuten, das von zwei Vektoren u,v aufgespannt wird

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Die Flächenberechnung ist Scherungsinvariant, weil sich die Fläche nach einer Scherung nicht ändert.

Die Volumenberechnung ist auch Scherungsinvariant weil sich auch das Volumen bei einer Scherung nicht ändert.

Die Determinante ist z.B. auch scherungsinvariant.

So nun hast du ein paar Beispiele.

Nun kannst du zwei allgemeine Vekoten nehmen und das Kreuzprodukt vor und nach einer Scherung berechnen und dann müsste bei einer scherungsinvarianz das gleiche herauskommen.

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Vielen dank. Also sind Antwort 1,2,3 und 4 richtig?

Gruß

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Wenn das das Kreuzprodukt vor und nach der Scherung übereinstimmt dann ist 4 richtig. was ist mit 5. was bedeuten die mathematischen zeichen? weißt du das oder erwartest du das ich dir das vorsage?

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Habe ich in meinem obigen Kommentar schon erwähnt.

Also bei 5 soll das bedeuten, dass das Kreuzprodukt aus u und v teilerfremd zu u und v ist.

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Ich denke damit ist eher

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalit%C3%A4t

gemeint.