1. \(\alpha=\sqrt{2+\sqrt{2}}\) ist Nullstelle des Polynoms
\(p=X^4-4X^2+2\), das nach Eisenstein über Q irreduzibel ist und daher
das Minimalpolynom von \(\alpha\). Dieses Polynom hat in seinem
Zerfällungskörper die 4 Nullstellen \(\pm \sqrt{2\pm \sqrt{2}}\). Wir wollen prüfen,
ob die Nullstelle \(\beta=\sqrt{2-\sqrt{2}}\) in \(Q(\alpha)\) liegt.
Man findet leicht, dass \(\beta=\frac{\alpha^2-2}{\alpha}\) ist, also
in \(Q(\alpha)\) liegt. Damit liegen alle Nullstellen von \(p\) in \(Q(\alpha)\) und
\(Q\subset Q(\alpha)\) ist normal.
2. \(\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}\) ist Nullstelle des Polynoms
\(q=X^4-2X^2-2\), das nach Eisenstein über Q irreduzibel ist und daher
das Minimalpolynom von \(\alpha\).
Dieses Polynom hat in seinem
Zerfällungskörper die 4 Nullstellen \(\pm \sqrt{1\pm \sqrt{3}}\). Wir wollen prüfen,
ob die Nullstelle \(\beta=\sqrt{1-\sqrt{3}}\) in \(Q(\alpha)\) liegt.
Diese Zahl ist aber nicht reell und kann daher nicht in dem reellen
Körper \(Q(\alpha)\) liegen. Also ist diese Erweiterung nicht normal.
