Wie kann man überprüfen, ob P in der Ebene E liegt?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(4/2/2), B(1/3/3), C(2/2/4)  und P(3/1/1)

Fragen:

Die Ebene E soll durch die Punkte A, B und C aufgespannt werden. Geben Sie die Normalenform zur Ebene E an.

Wie kann man überprüfen, ob P in der Ebene E liegt? (ohne Rechnung)

Wie bestimme ich den Abstand des Punktes P von der Ebene E?

Wie kann ich ein am besten Verfahren erläutern, wie man den Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen kann?

Answer 1

Wenn du beim Ansatz ax+by+cz=d

die drei Punkte einsetzt bekommst du z.B.

x+2y+z=10 ==> Normalenform ist

$$\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=10$$

Ganz ohne Rechnung prüfen ( Zeichnung ?) fände ich schwierig.

Aber Einsetzen bei x+2y+z=10 zeigt: P∉E.

Für den Abstand: Hesse-Normalenform, (Normalenvektor auf Länge 1

normieren.)  Länge ist hier √6, also wäre das

$$\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\frac{10}{\sqrt{6}}=0$$

P einsetzen gibt

$$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 6-\frac{10}{\sqrt{6}}=0 <=> \frac{4}{\sqrt{6}} =0$$

Also ist \(  \frac{4}{\sqrt{6}} \) der gesuchte Abstand.

Abstand Punkt P von Gerade:  Bestimme den Parameter in der Geradengleichung so, dass die

Verbindung von P zu dem Punkt der Geraden senkrecht zu g ist. Dann hast du den

Lotfußpunkt L und der Abstand ist die Länge des Vektors PL.

Comments

Vielen tausend Dank :)