Konvergenz von Folge mit Wurzeln. an:=√(n+1)-√(n)

Question

Ich übe gerade für meine Klausur und komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Ich soll folgende Folge auf Konvergenz untersuchen:

a_n := √(n+1)-√(n).

So bin ich bisher vorgegangen:

\( \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n} · \sqrt{1+\frac{1}{n}}}-\sqrt{1} \)

(Die "-√1" steht im Nenner)

Wie komme ich weiter bzw. wo ist mein Fehler?

Answer 1

Grenzwert: lim (n → ∞) √(n + 1) - √n

lim (n → ∞) √(n + 1) - √n
lim (n → ∞) (√(n + 1) - √n)·(√(n + 1) + √n) / (√(n + 1) + √n)
lim (n → ∞) 1 / (√(n + 1) + √n)

Der Nenner geht hier gegen ∞ und damit geht der Bruch gegen 0.

Comments

Aber warum ist im nenner ein + und keine - ? Ist die "formel" nicht (a-b)(a+b)/a+b ? Sprich im nenner ergibt es wegen negativer wurzel n a-b

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Richtig.

Rechne (√(n+1))^2 - (√n)^2 = n+1-n = 1. Also plus Eins.

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Ich meinte das + im nenner, aber hab verstanden wieso. Wegen dem komplex konjugiertem. Trotzdem danke