positiv definit? Für welche α?

Question

Aufgabe:Für welche Werte von α∈R ist die quadratische Form f(x₁,x₂)=(x₁)²+αx₁x₂+(x₂)² 

^{positiv definit?}

Problem/Ansatz:?

Answer 1

Aloha :)

Da die Matrix \(A\) der Bilenarform symmetrisch sein muss, können wir sie sofort angeben:

$$\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \frac{\alpha}{2}\\\frac{\alpha}{2} & 1\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=x_1^2+\alpha x_1x_2+x_2^2$$Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix, also \(\lambda_1+\lambda_2=2\). Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante, also \(\lambda_1\cdot\lambda_2=1-\frac{\alpha^2}{4}=(1-\frac{\alpha}{2})(1+\frac{\alpha}{2})\). Daraus lesen wir ab:$$\lambda_1=1-\frac{\alpha}{2}\quad;\quad\lambda_2=1+\frac{\alpha}{2}$$Die Matrix ist genau dann positiv definit, wenn beide Eigenwerte positiv sind:

$$\lambda_1>0\quad\Longleftrightarrow\quad1-\frac{\alpha}{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad1>\frac{\alpha}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha<2$$$$\lambda_2>0\quad\Longleftrightarrow\quad1+\frac{\alpha}{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\alpha}{2}>-1\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha>-2$$Die Matrix ist also positiv definit für \(-2<\alpha<2\).