Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen und Konvergenzverhalten des offenen Konvergenzintervalls.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen und Konvergenzverhalten des offenen Konvergenzintervalls.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich mit der Aufgabe anfangen soll, könnte mir jemand helfen.

Text erkannt:

5. Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen. Untersuchen sie das Konvergenzverhalten des offenen Konvergenzintervalls.
(A) \( \sum \limits_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x * 4^{x}} * y^{n} \)
(B) \( \sum \limits_{x=0}^{\infty} x ! * y^{n} \)
(C) \( \sum \limits_{x=1}^{\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{n} * y^{n} \)
(D) \( \sum \limits_{x=0}^{\infty} \sqrt{x} * y^{n} \)

Comments

Hallo,

soll x die Laufvariable für die Summe sein oder n? Was würde man unter dem Konvergenzverhalten eines Intervalls verstehen?

Gruß

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Ja, X ist die Laufvariable

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Und was ist dann mit dem n??

PS: Mich würde mal interessieren was Du wo studierst. Die Laufvariable einer Summe n zu nennen, kommt mir sehr originell vor.

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Ich studiere in Karlsruhe und n ist auch die Laufvariable ich habe die Aufgabe falsch aufgeschrieben weil ich es auch mit n kannte.

Answer 1

Hallo,

ich hatte natürlich in meinem Kommentar einen Freudschen Dreher drin: Es wäre sehr originell, x als Laufvariable einer Summe zu nehmen.

Ich gehe jetzt mal von folgendes Potenzreihe aus:

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n \text{  mit } a_n=\frac{1}{n4^n}$$

Zur Bestimmung des Konvergenzradius versucht man es mit einem der beiden bekannteren Methoden, sagen wir mit der aus dem Quotientenkriterium abgeleiteten. Man untersucht:

$$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}}\right|= \frac{(n+1)4^{n+1}}{n4^n}=(1+\frac{1}{n})4 \to 4$$. Dann ist der Konvergenzradius r=4.

Jetzt kannst du es mal mit den anderen Aufgaben versuchen. Wenn es Probleme gibt, denk auch an die Alternative, Formel von Hadamard (Wurzelkriterium).

Gruß

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, es wird mir sicherlich helfen!