Ax= 0 <==> A^T Ax=0 Gilt dies für alle x€R^n

Question

Aufgabe:

Ich möchte zeigen, dass für A in R^m x n und für alle x in R^n gilt

Ax= 0 <=> A^TAx= 0

Problem/Ansatz:

Mein momentaner Ansatz ist es in zwei Implikationen aufzuteilen

=>

rang(A) = min(rangA^T, rang A) >= rang(A^T, A)

Somit also  dim{x€R^n: Ax=} = n-rang(A)>= n-rang(A^T,A)

<=

rang(A^T*A) <= min(rangA^T, rang A) = rang A

Somit also dim{x€R^n: A^TAx=}= n-rang(A^T*A)<= dim{x€R^n: Ax=} = n-rang(A)

Reicht das oder ist das vollkommen falsch?

Answer 1

Ax= 0 ⇔ A^TAx = 0

Das ist eine Aussage über die Kerne der Abbildungen A und A^TA.

Somit also dim{x€Rn: Ax=} = n-rang(A)>= n-rang(A^T,A)

Das sieht aus wie eine Aussage über die Dimensionen der Kerne der Abbildungen A und A^TA. Nur weil sich die Dimension des Kernes nicht verkleinert, heißt das aber nicht, dass x im Kern von A^TA ist, wenn es im Kern von A ist.

Stattdessen

        Ax= 0 ⇒ A^TAx = A^T·0 = 0.