Wie lautet c, wenn Z mit Wahrscheinlichkeit 0.82 im Intervall (-c,c) liegt?

Question

Die Zufallsgröße Z ist standardnormalverteilt. Wie lautet c, wenn Z mit Wahrscheinlichkeit 0.82 im Intervall (-c,c) liegt?

Könnte mir hier bitte jemand erklären, wie man hier rechnet? Bin mit meinen Berechnungen leider immer auf 0.91 gekommen, dabei wäre die richtige Lösung 1.341.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.P(-c\le z\le c)=0,82\quad\right|\text{Zerlegung in Verteilungsfunktionen}$$$$\left.P(z\le c)-P(z\le -c)=0,82\quad\right|\text{Ersetzen durch Standardnormalverteilung \(\phi\)}$$$$\left.\phi(c)-\phi(-c)=0,82\quad\right|\text{Symmetrie: }\phi(c)+\phi(-c)=1$$$$\left.\phi(c)-(1-(\phi(c))=0,82\quad\right|\text{links ausrechnen}$$$$\left.2\phi(c)-1=0,82\quad\right|+1$$$$\left.2\phi(c)=1,82\quad\right|:2$$$$\left.\phi(c)=0,91\quad\right|\phi^{-1}(\cdots)$$$$c=1,340755$$

Comments

Vielen Dank wieder mal für die ausführliche Erklärung!!! :)

Eine ziemlich unsinnige Frage hätte ich allerdings noch .... wie berechnet man generell die "Standardnormalverteilung hoch -1", also Φ^(-1)?

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Wenn du eine Tabelle verwendest, schaust du ja normalerweise am Rand nach dem \(z\)-Wert und liest dann aus den Tabellen-Einträgen \(\phi(z)\) ab.

Das kannst du natürlich auch umgekehrt machen. Du suchst in den Tabellen-Einträgen den gewünschten \(\phi(z)\)-Wert (hier z.B. 0,91) und schaust dann am Rand, welcher \(z\)-Wert dazu gehört. Das wäre dann die Umkehrfunktion \(\phi^{-1}\).

Ich verwende dazu gerne Excel:

$$\phi(z)=\operatorname{Standnormvert}(z)$$$$\phi^{-1}(p)=\operatorname{Standnorminv}(p)$$

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Vielen vielen Dank!