Vermutlich ist ja das Ergebnis erwartet in der Form
$$f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} ?\\?\\? \end{pmatrix}$$.
Dazu brauchst du die Bilder der kanonischen Basisvektoren e1,e2,e3 von R^3.
Da es ein Isomorphismus werden soll, muss es eine lineare Abb. sein.
Dann kann man aufgrund der ersten Vorgabe so beginnen:
$$\begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix}=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})$$
Den zweiten Summanden kannst du aus der 2. Vorgabe und der Linearität bestimmen und hast dann:
$$f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+\begin{pmatrix} 0\\1\\-0,5 \end{pmatrix}$$
Das zusammen ergibt
$$\begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix}=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+\begin{pmatrix} 0\\1\\-0,5 \end{pmatrix}$$ also
$$f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} -1\\0\\-0,5 \end{pmatrix}$$
Für den 3. Basisvektor hatte man ja oben schon
$$f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} 0\\1\\-0,5 \end{pmatrix}$$
Damit es bijektiv wird, muss das Bild von e2 so festgesetzt werden, dass die
Bilder der 3 Basisvektoren lin. unabhängig sind, also am besten
$$f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$
Dann hat man das Ergebnis $$f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -x\\y+z\\-0,5x-0,5z \end{pmatrix}$$.
