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Hallo liebe Mitglieder,

leider verzweifle ich gerade an folgender Hausaufgabe:


Gegeben sei die durch
\( \tilde{f}(1,0,1)=(-1,1,-1) \text { und } \tilde{f}(0,0,2)=(0,2,-1) \)
definierte Abbildung \( \tilde{f}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \). Erweitern Sie die Abbildung \( \tilde{f} \) zu einem Isomorphismus \( f \) von \( \mathbb{R}^{3}, \) d.h., geben Sie eine Bijektion \( f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \) an, die auf der Menge \{(1,0,1),(0,0,2)\} mit \( \tilde{f} \) übereinstimmt.


Mir fehlt leider jeglicher Ansatz, daher bitte ich euch die Antwort möglichst ausführlich und Schritt für Schritt zu erläutern.

Vielen Dank!

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Vermutlich ist ja das Ergebnis erwartet in der Form

$$f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} ?\\?\\? \end{pmatrix}$$.

Dazu brauchst du die Bilder der kanonischen Basisvektoren e1,e2,e3 von R^3.

Da es ein Isomorphismus werden soll, muss es eine lineare Abb. sein.

Dann kann man aufgrund der ersten Vorgabe so beginnen:

$$\begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix}=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})$$

Den zweiten Summanden kannst du aus der 2. Vorgabe und der Linearität bestimmen und hast dann:

$$f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+\begin{pmatrix} 0\\1\\-0,5 \end{pmatrix}$$

Das zusammen ergibt

$$\begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix}=f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})+\begin{pmatrix} 0\\1\\-0,5 \end{pmatrix}$$  also

$$f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} -1\\0\\-0,5 \end{pmatrix}$$ 

Für den 3. Basisvektor hatte man ja oben schon

$$f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} 0\\1\\-0,5 \end{pmatrix}$$ 

Damit es bijektiv wird, muss das Bild von e2 so festgesetzt werden, dass die

Bilder der 3 Basisvektoren lin. unabhängig sind, also am besten

$$f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$ 

Dann hat man das Ergebnis $$f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -x\\y+z\\-0,5x-0,5z \end{pmatrix}$$.

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