Aloha :)
Wie du schon richtig geschrieben hast, muss du das Integral von einer Nullstelle zur nächsten berechnen. Zum Finden der Nullstellen schreiben wir die Funktion etwas um:$$f(x)=2x^3-6x^2+4x=2x(x^2-3x+2)=2x(x-1)(x-2)$$Die Nullstellen liegen also bei \(0\), \(1\) und \(2\). Eine Stammfunktion zu \(f(x)\) lautet:
$$F(x)=2\cdot\frac{x^4}{4}-6\cdot\frac{x^3}{3}+4\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{2}-2x^3+2x^2=\frac{x^2}{2}(x^2-4x+4)=\frac{x^2}{2}(x-2)^2$$
Damit lautet die gesuchte Fläche \(A\):
$$A=\left|\int\limits_0^1f(x)dx\right|+\left|\int\limits_1^2f(x)dx\right|=\left|F(1)-F(0)\right|+\left|F(2)-F(1)\right|$$$$\phantom{A}=\left|\frac{1}{2}-0\right|+\left|0-\frac{1}{2}\right|=1$$
