Aufgabe:
Hallo Leute,
kann jemand mir erklären, wie kommt die Formel?
\( f(x)=\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} f_{k} e^{i k x \frac{2 \pi}{\tau}} \) (7.32)
mit den komplexen Fourier-Koeffizienten
\( f_{k}:=\frac{1}{\tau} \int \limits_{0}^{\tau} f(x) e^{-i k x \frac{2 \pi}{\tau}} d x \) (7.33)
Wegen \( f(\tau)=f(0) \) schreibt sich die Trapezsumme ( 7.13 ) bei \( n \) Teilintervallen als
\( T(h)=h \sum \limits_{j=0}^{n-1} f(j h), \quad h=\frac{\tau}{n}, \quad n \in \mathbb{N}^{*} (7.34) \)
Setzen wir die Fourier-Reihe (7.32) in (7.34) ein und vertauschen die Summations-Reihenfolge, ergibt sich
\( T(h)=\frac{\tau}{n} \sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} f_{k} \sum \limits_{j=0}^{n-1} e^{i j k \frac{2 \pi}{n}} \) (Wie kommt die Formel hier)
Von der Summe über \( k \) bleiben nur die Terme mit \( k=n l, l \in \mathbb{Z}, \) übrig, weil
\( \sum \limits_{j=0}^{n-1} e^{i j k \frac{2 \pi}{n}}=\left\{\begin{array}{ll} n, & \text { für } k \equiv 0(\bmod n) \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right. \)
und wir erhalten
\( T(h)=\tau \sum \limits_{l=-\infty}^{\infty} f_{n l} \)
Speziell gilt gemäß \( (7.33) \tau f_{0}=\int \limits_{0}^{\tau} f(x) d x=I, \) und somit ergibt sich aus (7.35) das Fehlergesetz
\( T(h)-I=\tau\left(f_{n}+f_{-n}+f_{2 n}+f_{-2 n}+\ldots\right) \)
Zur weiteren Diskussion benutzen wir aus der komplexen Analysis den folgenden [Hen 91\( ] \)
