Angenommen es gilt die Komposition f ° f = f. Zeigen sie, dass dann V = Ker(f) + f(V) gilt.

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sei f ∈ End_K (V). Angenommen es gilt die Komposition f ° f = f. Zeigen sie, dass dann V = Ker(f) + f(V) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich denke zum beweisen muss ich mich auf die Dimensionsformel für lineare Abbildung und UVR beziehen und muss zeigen, dass Ker (f) ∩ f(V) = {0} , es ist mir jedoch nicht klar wie ich das genau anstelle

Answer 1

Naiver Versuch. Wollen v = v_1 + v_2 darstellen sodass v_1 aus dem Kern und v_2 aus dem Bild f(V) kommt. Wir verfeinern:
v= v_1 + f(w) 
wobei w aus V kommen soll. Was passiert wenn wir f auf v anwenden?
f(v)= f(v_1) +f(f(w))= f(v_1)+f(w) = 0 + f(w).
Wir kommen zum Erkenntniss dass f(w) = f(v). Updaten wir nun die Formel:
v = v_1 + f(v).
v_1 lässt sich aber als v-f(v) ausdrücken! Also
v = v-f(v) + f(v). In der Tat v-f(v) lebt im Kern denn f(v-f(v)) = f(v)-f(v)=0 und f(v) lebt im Bild.

Blebt zu zeigen, dass  Ker (f) ∩ f(V) = {0}. Sei also x aus Ker (f) ∩ f(V). Das heisst x hat die Form x=f(w) für ein w aus V UND f(x)=0. Beide Gleichungen kombiniert ergibt sich x=f(w)=f(f(w))=f(x)=0.