Wie löse ich dieses Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten?

Question

Aufgabe:

Löse das Gleichungssystem:

I 2a +b +c = 1

II a + d = 1

II b + c -2d = -1

Problem/Ansatz:

Mit Hilfe von Gauß habe ich folgendes bekommen:

$$  \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $$

am Ende vom Gauß Algorithmus habe ich eine Nullzeile bekommen:

$$  \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

wie geht es nun weiter ? Die Nullstelle besagt ja dass es unendlich viele Lösungen gibt.

kann man dann sagen dass c = frei wählbar ist oder d= frei wählbar ? oder beides ?

Wie rechne ich weiter?

Answer 1

c und d sind frei Wählbar

a + d = 1 → a = 1 - d

2·(1 - d) + b + c = 1 --> b = -c + 2·d - 1

Lösung ist also

[1 - d, -c + 2·d - 1, c, d]

Comments

ok c ist frei wähbar wegen der Nullzeile und warum genau ist d frei wählbar ? weil es nur 3 gleichungen gibt ?

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Weil du am Ende nur noch 2 Gleichungen hast und somit 2 Freiheitsgrade besitzt.

Answer 2

I - III = II

Damit ist II entbehrlich und es bleiben 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Also sind zwei Variable frei wählbar. Das können nur c und d sein.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Ich würde in deiner letzten Matrix noch die 2-te Zeile zur ersten addieren, um viele Nullen zu kriegen:

$$\left(\begin{array}{rrrrr}2 & 1 & 1 & 0 & 1\\0 & -1 & -1 & 2 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrrr}2 & 0 & 0 & 2 & 2\\0 & -1 & -1 & 2 & 1\end{array}\right)$$

Daraus kannst du die folgenden Gleichungen ablesen:

$$2a+2d=2\quad\quad\;\;\;\Longleftrightarrow\quad a=1-d$$$$-b-c+2d=1\quad\Longleftrightarrow\quad b=-1-c+2d$$

Die Lösungen des Gleichungssystems sind also:

$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-d\\-1-c+2d\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}-1\\2\\0\\1\end{pmatrix}$$

Das ist eine 2-dimensionale Hyperebene im 4-dimensionalen Raum.