Funktionsterm 3. Grades mit Schnitt an x-Achse und Tiefpunkt aufstellen

Question

Servus Leute!

wir haben ein neues Thema angefangen und sollen bis nächste Woche zwei Aufgaben erledigen. Die Frage lautet "Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-achse bei -1. Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse. Der Graph hat zusätzlich den Tiefpunkt T(0|-1). Wie lautet der Funktionsterm?"

Wie gehe ich hier am besten vor? Wir hatten zwar mit einer anderen Aufgabe geübt, welche aber etwas anders. Wir haben uns lediglich folgende Schritte notiert:

  Ansetzen einer passenden Funktion (ggf. mit Ableitung)
  Bedingungen formulieren
  Gleichungssystem aufstellen
  Gleichungssystem lösen -> Funktionsgleichung angeben
  Ergebnis überprüfen/interpretieren.

Ich habe aus der Aufgabe Nr. 3 aufgeschrieben:

Kann mir jemand hier weiterhelfen?

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades
f ( x ) = a * x^3 + b* x^2 + c*x + d
schneidet die x-achse bei -1.
f(-1) = 0

Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse.
( Berührpunkt / Steigung null )
f ´ ( -1 ) = 0

Der Graph hat zusätzlich den Tiefpunkt T(0|-1).
f ( 0 ) = -1
f ´( 0 ) = 0

Soweit alles klar ?
Die 4 Aussagen in 4 Gleichungen überführen.
4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Frag nach bis alles klar ist.

Comments

Vielen Dank!!!

Ich hab dadurch nun 4 Bedienungen aufgestellt:

0 = a•-1³ + b•-1² + c•-1 +d

-1 = a0³ + b0² + c0 + d

0 = 3a-1² + 2a-1 + c

0 = 3a0² + 2a0 + c

Wäre das soweit richtig?

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Wenn ich diese ausrechne komme ich auf:

0 = -a-b-c+d

-1 = d

0 = -3a + -2a +c

0 = c

Wäre das auch richtig?

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und wenn ich diese in die Bedinungen von oben einfüge komme ich auf:

a = 0

b = -1

c = 0

d = -1

Wenn ich diese Werte dann wieder in die Urfunktion einsetze komme ich auf folgenden Funktionsterm:

f(x) = x³ + -1x² +x -1

Aber glaub so ganz stimmt das nicht....

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Hier die Bearbeitung mit einem
Matheprogramm

Eine Überprüfung mit dem Graph zeigt die
Richtigkeit der Funktion.

Wir können die Lösung aber auch manuell
ermitteln. Frage nach bis alles klar
ist.

mfg Georg

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Ahhh! also die Lösung ist auf jeden Fall richtig, da wir diese gegeben bekommen haben!

Nur die Schritte bzw. der Weg dahin ist etwas verwirrend mit dem Programm!

Aber voll Nett von Dir für die Hilfe ! :)

Also ich schreib nochmal die Schritte auf die ich gemacht habe:

Ansetzen einer passenden Funktion (ggf. mit Ableitung)

f ( x ) = a * x3 + b* x2 + c*x + d

und danach die Ableitung

f ' ( x ) = 3ax² + 2bx + c

Bedingungen formulieren

1. Bed.:    0 = a•-1³ + b•-1² + c•-1 + d

2. Bed.:   -1 = a0³ + b0² + c0 + d

3. Bed.:   0 = 3a-1² + 2a-1 + c

4. Bed.:   0 = 3a0² + 2a0 + c

Gleichungssystem aufstellen

Für die 1. Bed.:     0 = -a-b-c+d

Für die 2. Bed.:   -1 = d

Für die 3. Bed.:   0 = -3a + -2a +c

Für die 4. Bed.:   0 = c

Gleichungssystem lösen -> Funktionsgleichung angeben

a = 0

b = -1

c = 0

d = -1

EDIT: habe den Fehler gefunden!! man muss mit klammern Rechnen!!! also (-1)² und nicht -1² !!!!

Wenn ich diese Werte dann wieder in die Urfunktion einsetze komme ich auf folgenden Funktionsterm:

f(x) = x³ + -1x² +x -1

Ergebnis überprüfen/interpretieren.

I don't know wie ich das machen kann. Mit GeoGebra???

Wo könnten meine Fehler liegen? bzw. Du hast 0 = b -a -c + d raus... wie kommst Du auf ein positives b ?

wie rechnet man b•-1² aus?

-1² ist nämlich negativ 1 also -1

und

(-1)² ist positiv 1 also 1

Rechnet man hier immer mit Klammer?

EDIT: habe den Fehler gefunden!! man muss mit klammern Rechnen!!! also (-1)² und nicht -1² !!!!

Ich komme nun auf dein gleiches Ergebnis!!!

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Ich gehe aus von
f(-1) = 0
f ´ ( -1 ) = 0
f ( 0 ) = -1
f ´( 0 ) = 0
Einsetzen in
f ( x ) = a * x^3 + b* x^2 + c*^x + d
f ´( x ) = 3ax^2 + 2bx + c

f ( -1 ) = a * (-1)^3 + b* (-1)^2 + c*(-1) + d = 0
f ´( -1) = 3a*(-1)^2 + 2b(-1) + c = 0
f ( 0 ) = a * (0)^3 + b* (0)^2 + (0)*x + d = -1
f ´( 0 ) = 3a(0)^2 + 2b*(0) + c = 0

f ( -1 ) = -a + b - c + d = 0
f ´( -1) = 3a - 2b + c = 0
f ( 0 ) = d = -1
f ´( x ) = c = 0

d und c einsetzen
f ( -1 ) = -a + b - 0  -1 = 0
f ´( -1) = 3a - 2b + 0 = 0

-a + b -1 = 0
3a - 2b = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

a = 2
b = 3

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Super! Danke nochmal für die sehr ausführliche Erklärung! ;-)

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Gern geschehen.

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eine frage hätte ich da noch georgborn,
ich habe den casio fx-991de x classwiz und dort kann man gleichungssystme bis 4 grad ausrechnen lassen.
wenn ich jedoch die 4 gleichungen dort eintippe, kommt unendlich viele lösungen raus.
bei einer anderen aufgabe habe ich z.b.
c = 0
-3 = 4a + 2b + c
-4 = 4a + b
und auch dort kommen unendlich viele lösungen raus
gebe ich etwa die zahlen falsch in den taschenrechner ein?

EDIT: Frage von selbst beantwortet: bei unbekannten (x) muss ich eine 1 eintippen!

Answer 2

Hallo,

Ansetzen einer passenden Funktion (ggf. mit Ableitung)

Das ist schon mal ein guter Ansatz. Wie sähe die Funktionsgleichung und die Ableitung bei dir aus?

Comments

Danke für die Antwort :)

Das wäre ja dann zuerst die Allg. Form also

f ( x ) = a * x3 + b* x2 + c*x + d

und danach die Ableitung

f ' ( x ) = 3ax² + 2bx + c

:)

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Ja, das ist richtig.

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Danke :) denn rest habe ich jetzt auch versucht, aber glaube der scheint nicht so zu stimmen.. siehe Unten.