Question

Wie lautet die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph einen Wendepunkt mit der Abszisse x_W = 1 hat, die x-Achse im Ursprung berüht und sie ein weiteres Mal unter 45° schneidet?

Answer 1

Hi, schöne Aufgabe, hier das Ergebnis zur Kontrolle:
$$f(x) = \frac 19\cdot x^3-\frac 13\cdot x^2 = \frac 19\cdot x^2\cdot (x-3) $$

Comments

Diese Antwort hat dem Fragesteller sicherlich ungemein weitergeholfen.

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An Kontrollergebnissen ist nichts auszusetzen, am exzessiven Vorrechnen schon!

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An Kontrollergebnissen ist nichts auszusetzen,

Ich bezweifle das dem Fragesteller die " Rechnung " schon
selbst gelungen ist.

am exzessiven Vorrechnen schon!

Jemandem die Hausaufgaben mache ich nicht.
Der Lerneffekt durch Nachvollzug des Lösungswegs
ist auch nicht zu verachten.

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Ja, aber ich finde deinen Kommentar

Diese Antwort hat dem Fragesteller sicherlich ungemein weitergeholfen.

nicht angemessen. Meine Absicht war es, dem Frager etwas weiterzuhelfen, natürlich ohne wissen zu können, was er zum damaligen Zeitpunkt selbst schon gemacht hat oder später noch machen würde.

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Dann überlassen wir es dem Fragesteller ob er noch
Anmerkungen machen will.

mfg Georg

Answer 2

kleine Starthilfe:

Aus der Berührung bei (0|0) folgt \( x=0 \) ist doppelte Nullstelle. Da man weiss, es gibt noch eine weitere Nullstelle kann man sagen:

\[ f(x)= a\cdot x^2 \cdot ( x- b) \]

Jetzt beide Ableitungen bilden.

Wenn man dann den Wendepunkt bei \( x=1 \) betrachtet kommt man auf

\[ f''(1)=0 \]

Nach einsetzen lässt sich dies nur lösen, wenn \( a=0 \) oder der andere Teil \(0 \) ist. Mit \(a = 0 \) wäre \(f(x)=0 \), also muss der andere Teil \( 0 \) sein und daraus erhält man dann \( b \).

Jetzt wissen wir, dass die Steigung an der anderen Nullstelle 1 sein muss ( Schnitt von 45 Grad), also folgt:

\[ f'(1)=1 \]

Hier wieder einsetzen und \( a \) ausrechenen.

Danach hat man \( f(x) \) berechnet.

Kontrollergebnis

\[ f(x) = \frac{1}{9} \cdot x^2 \cdot (x-3) \]

Das kann man selbstverständlich noch umformen.

~plot~(x^3-3x^2)/9;[[-4|8|-4|4]]~plot~

Gruß

Comments

Fehler: Ich schrieb an der anderen Nullselle muss \( f'(x) = 1 \). Danach habe ich falsch eingesetzt. Es gilt natürlich \( f'(3)=1 \), da \(x=3\) die andere Nullstelle ist.

Gruß

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Dein Ansatz \(f(x)=a\cdot x^2\cdot \left(x-b\right)\) über die Produktform ist gut. Ihm folgend bleiben noch zwei Bedingungen auszuwerten, nämlich

$$ f''(1)=0$$und$$f'(b)=1.$$

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Snoop, mal eine frage, kann man aus der Existenz eines Berührpunktes immer schließen, dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt?

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@cb7288

genau das habe ich ja auch dazu geschrieben.

@koffi123

Es kann sich auch um eine Nullstelle von höherer Ordnung handeln, aber mindestens 2ter, denn:

- wegen berühren der x-Achse gilt \(f(x_0)=0 \)

- berühren bedeutet Extremstelle also \( f'(x_0)=0 \)

Den Beweis warum \( f(x_0)=f'(x_0)=0 \) gleichbedeuten mit doppelter Nullstelle ist, kann man -glaube ich- mit der Produktregel führen.

Wenn ich mich täusche heisst Berührpunkt sogar n-fache Nullstelle mit n ist gerade. n ungerade müsste Sattelpunkt sein.

Gruß

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Beispiel
2 Nullstellen einer Funktion 2.Grades mit unterschiedlichen
Schnittpunkten mit der x-Achse
( x  - 3 ) * ( x + 2)
Abgeleitet
1 * ( x + 2 ) + ( x - 3 ) * 1
2x - 1
Scheitel- / Extrempunkt
2x -1 = 0
x = 1/2

Nullstelle einer Funktion 2.Grades mit  Berührpunkt
( x  - 3 ) * ( x - 3 )
Abgeleitet
x - 3 + x - 3
2x - 6
Scheitel- / Extrempunkt
2x - 6 = 0
x = 3

Der Scheitelpunkt ist auch die Nullstelle,
also ein Berührpunkt.

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Hallo Georg,

leider ist das ja kein Beweis. Du zeigst zwar, dass es sich bei der doppelten Nullstelle um einen Berührpunkt handelt, aber nicht, dass es sich bei jedem Berührpunkt auch um eine Nullstelle von mindestens Grad 2 handelt.

Meine Idee wäre:

Für \( x_0 \) ist Berührstelle muss gelten

\( f(x)= (x-x_0) \cdot g(x) \)

\( f'(x)= 1 \cdot g(x) + (x-x_0) \cdot g'(x) \)

Wegen \(f'(x_0)=0 \) muss dann gelten

\( f'(x_0)=0= g(x_0) + (x_0-x_0) \cdot g'(x_0) \)

\( 0=g(x_0) + 0 \)

\( \Rightarrow g(x_0)=0 \)

\( \Rightarrow g(x)= (x-x_0) \cdot h(x) \)

\( \Rightarrow f(x)= (x-x_0)^2 \cdot h(x) \)

Gruß

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mein "Beweis" soll natürlich für ganzrationale \( f(x) \) sein.

Gruß

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Es folgt jetzt kein Beweis.

Ich hatte mir folgendes einmal ausgedacht um den
Zusammenhang zwischen " doppelter Nullstelle " und
" Berührpunkt " zu erklären

1. Funktion 2 Grades mit 2 Nullstellen x = 4 und x = 6
2. Jetzt schiebe ich x = 6 nach links zu x = 5
3. Dann zu x = 4

Man sieht : aus den 2 Nullpunkten ist ein doppelter Nullpunkt
geworden und hat sich von Schnittpunkt in einen Berührtpunkt
gewandelt.

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Hallo Georg,

die Erklärung finde ich ganz gut. Kann man analog auch für Funktionen höheren Grades nehmen. Ich hatte nur aufgrund der Frage "Kann man immer von Berührpunkt auf eine doppelte Nullstelle schliessen?" nach einem "Beweis" gefragt. Jegliche reine Veranschaulichung davon oder ein Rückschluss von doppelter Nullstelle auf Berührpunkt kann die Frage leider nicht abschließend beantworten.

Gruß

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Bin noch am überlegen. mfg Georg

PS Stell doch einmal eine Frage ein. Der Graph einer Funktion hat einen
Berührpunkt mit der x-Achse. Läßt dies auf  einen Funktionsterm mit doppelter
Nullstelle schließen. Oder so ähnlich. Vielleicht einschränkend auf Funktionen
2. Grades.

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Hallo Georg,

weiter oben habe ich mich doch schon an einem Beweis versucht. Kontrolliere Bitte mal, falls Du Lust hast.

Gruß

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Werd´  ich machen.

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Hier mein Nachweis für
Berührpunkt x-Achse −> doppelte Nullstelle

Die ganzen Umstellereien habe ich nicht hingeschrieben
Die beiden Ausgangsvoraussetzungen
f ( x ) = 0
f ´ ( x ) = 0

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Hallo Georg,

hmm, mir fehlt noch die Begründung warum ich bei einer Nullstelle von einer zweiten ausgehen darf. Ok,bei \( x^2 \) ist das trivial, aber im Allgemeinen nicht. Du beweist dann, wenn die Extremstelle einer Funktion zweiten Grades auch Nullstelle ist, so ist sie doppelte Nullstelle. Ok, aber wie ist das bei Funktionen höheren Grades?

Kleiner Schönheitsfehler, der das Ergebnis aber nicht beinflusst, Du hast noch einen möglichen Streckfaktor vergessen \( f(x) = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)

Gruß

p.s. Habe ich einen Fehler im Beweis?

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Hallo snoop,
zu deinen Fragen
- den Streckfaktor habe ich aus Vereinfachungsgründen
bewußt weggelassen.
- ich habe mir deinen Beweis zwar schon angeschaut habe mich
aber erst einmal auf die Entwicklung einer eigenen Lösung konzentriert.
- ich habe miich bewußt auf  eine Funktion 2.Grades mit Nullstellen
beschränkt. Funktionen 2.Grades müssen nicht unbedingt Nullstellen
haben, dann gibt es natürlich auch keine Berührstellen auf deren Existenz
die Frage beruht.

  Wie gesagt ich habe mich bezüglich der Funktion beschränkt. Ich komme bei
der Beantwortung  von Kofis Nachfrage so langsam vom Stöckchen aufs
Hölzchen und denke über jede Menge exotischer Funktionen nach für den
ein allgemener Beweis auch zu führen wäre.

Mit fällt ein  f ( x ) = sin ( x ) + 1

Die Funktion hat Stellen mit f ( x ) = 0 und f ´( x ) = 0 . Der Graph zeigt anschaulich
Berührpunkte. In das Schema ( x  + a ) mal  irgendwas passt die Funktion
jedoch nicht.

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Hallo Georg,

so früh noch auf (ich) oder schon auf?

Jetzt deckst Du auch aber alles ab?

Ich hatte mich auf ganzrationale Funktionen beschränkt, da nur diese hier gesucht sind.

Sollte alles kein Vorwurf sondern nur Anmerkungen bzw. Anregungen sein. Du kennst mich ja schon ein wenig.

Gruß

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Dein Nachbohren bei dieser Frage und die an  mich gestellten Fragen
fasse ich auf keinen Fall als Vorwurf auf.
Du hast eine Lösung entwickelt und möchtest nun wissen was ich davon halte.

In der Winterszeit ist die Nacht lang. Ab 5 Uhr nachmittags wird es dunkel,
morgens um 8 Uhr wieder hell. Meinem Körper und meiner Psyche scheint dies
zu lang zu sein. Im Winter wache ich daher oft mitten in der Nacht auf. und beschäftige
mich dann für eine Stunde und lege mich dann wieder hin.

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Hallo Georg,

ob man Dich darum beneiden sollte? Ich gehe jetzt gleich ins Bett, muss heute leider schon um 7:30 wieder raus. :-)

Gruß

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Zu deinem Nachweis : kann ich bestätigen.

mfg Georg

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  " Berührt " heißt " Nullstelle von MINDESTENS 2. Oednung "  Was ist das überhaupt, eine Nullstelle n-ter Ordnung? Vorbereitend eine Definition



   DEFINITION 1
  ================


    Eine Funktion y = f ( x ) heiße vom Typ ( x0 ; n ) ,wenn sie in einer ( ===> offenen ) ===>Umgebung von x0 n-mal differenzierbar ist.


  ==================================================================



  DEFINITION 2a)  ( n-fache Nullstelle )
  ===================================

   Von einer Funktion des Typs ( x0 ; n ) sagen wir, sie hat in x0 eine n-fache Nullstelle, wenn



  f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) = f(³) ( x0 ) = ( d/dx ) ^ ( n-1 ) f ( x0 ) = 0     ( 1a )

     ( d/dx ) ^  n  f ( x0 )  < >  0     (  1b  )    


  ==================================================================



   Es lässt sich  zeigen, dass Definition 2a) äquivalent ist zu




       DEFINITION 2b)  ( n-fache Nullstelle )
===================================


     y = f ( x ) hat eine n-fache Nullstelle in  x0 , wenn es eine Funktion z = g ( x )  gibt vom Typ ( n ; x0 ) mit



    f  (  x  )  =:  g  (  x  )  (  x  -  x0  )  ^  n     (  2a  )


    Nun legt ( 2a ) bereits sämtliche Werte von g eindeutig fest, weil f ja bekannt ist - mit ausnahme von g ( x0 ) , weil ja die Division durch Null verboten ist.
    Da nun aber g als differenzierbar voraus gesetzt ist, ist es insbesondere stetig; die Definition ( 2b ) hat Sinn




       g0  :=  g  (  x0  )  :=        lim                  g (  x  )     (  2b  )
                                        x ====> x0


      g0  < >   0     (  2c  )


    Ungleichung ( 2c ) erweist sich als entscheidend

   "Du musst immer die höchste Potenz heraus ziehen. "

   Ansomsten würde sich etwa der Begriff der Nullstelle 4 711. Ordnung als mehrdeutig erweisen.


    ======================================================================

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Du hast vergessen den Nippel durch die Lasche zu ziehen.

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  Ich dachte immer, wir treiben hier Matematik. 8 Uhr ist zu spät, um ===> Frühstück bei Stefanie zu hören ( gibt 's auch online ) - die intelligenteste ( Wort geblockt ) Soap, die ich je gehört habe.
   Im Übrigen musst du zusehen, dass du rechtzeitig ins ===> Schlaftürlein kommst. Zitat

   " Am Ende der Welt, da ist das Schlaftürlein. "

    Ist ja jetzt wieder aktuell, wo sie im Internet 200 ermüdend lange Beweise vortragen, die Erde sei eben doch eine Scheibe. Aber was genau passiert, wenn ich den Rand dieser Scheibe überschreite, sagen sie nicht . . .

  Also wer sich nicht rechtzeitig im Schlaftürleineinfindet, muss zur Strafe ins ===> Kämmerleinletz und wird mit einem Löffel Grießbrei bestraft.

   An sich war mein Kritikpunkt, dass ich mit Snoopy uneinverstanden oder zweiversessen bin. Was DER beweisen will, kann man überhaupt nicht beweisen. An Hand meiner obigen Definitionen 2ab ) kannst du alle Funktionen charakterisieren, deren erste Ableitung verschwindet. Dass die Schüler im Übrigen einen erheblichen Nachholbedarf haben, erkennst du aus meinen folgenden Statements, die weit hin unbekannt sind

   " Es gibt keine notwendigen, sondern nur hinreichende Bedingungen. "

  " Eine gerade Nullstelle ist immer ein Extremum. "  ( Weiter als bis 2 können Schüler offenbar nicht zählen. )

  " Eine ( mehrfache ) ungerade Nullstelle ist immer ein Terrassenpunkt. "

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Unzweifelhaft ein Beitrag von Godzilla, der aus meiner Sicht völlig zu Recht in diesem Forum (wie auch in anderen) gesperrt wurde. Insofern tut man gut daran ihn einfach weiterhin zu ignorieren, wie es in den FAQs steht: "Trolle am besten nicht füttern!".

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  Erstens.  Wieso wird man für matematische Beiträge gesperrt, die inhaltlich richtig sind?
   Hier herrscht der gleiche üble Stil wie bei manchen anderen Foren, wo User A dem B vorwirft, seine Ausführungen seien " für C bestimmt unverständlich "
   Im Übrigen war ich auf " Gute Frage " noch nie gesperrt Sogar eine Kaffeetasse wollten die mir schenken für meine unsterblichen Verdienste. . Nur: Während euer Editor inzwischen halbwegs annehmbar läuft, kann ich bei denen keinen Kopierpuffer " cntrl + V " mehr einfügen.
   Gesperrt bin ich in der Tat bei ===> Ly cos = Cos - miq , jenem Un_Portal, dessen Name hier blockiert ist, weil gewisse selbst ernannte Administratoren über die die Nase rümpfen. Ly cos vergibt Ränge; die Wahrscheinlichkeit einer Sperrung wächst mit der Höhe deines Ranges. Inhaltlich intressieren sich die Administratoren für dich überhaupt nicht.
   Wenn ich in diesem Forum erst mal genau so viel Mathe lerne wie bei Ly cos, seid ihr gut.
  Bei Ly cos ist es Usus, eine Sperrung zu umgehen, indem man fröhlich ein neues Postfach anmeldet.

  " Bisher hieß ich Zauberfee; ab Heute heiße ich Hexenfee. "

   Hier geht es noch einfacher, weil eine Registrierung nicht erforderlich ist.
    Von den Fragestellern selber bekomme ich HIER in den seltensten Fällen Rückmeldungen; anscheinend bin ich gar nicht SOOO unverständlich.

Answer 3

wurde gestern abend schon begonnen.

Wie Lautet die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades,
deren Graph einen Wendepunkt mit der Abszisse xW = 1 hat, die
x-Acjse im Ursprung berüht und sie ein weiteres Mal unter 45° schneidet?

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = 0  => d = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´( 0 ) = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

f ´´ ( 1 ) = 0
6 * a * 1 + 2 * b = 0
6a + 2b = 0

und die x-achse ein weiteres Mal unter 45° schneidet?
Nullpunkte
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 = 0
x^2 * (a * x + b  )  = 0
x = 0
und
a * x + b  = 0

Steigung an der Nullstelle
f ´( x )  = 3 * a * x^2 + 2 * b * x
3 * a * x^2 + 2 * b * x = 1

Aus
a * x + b  = 0
3 * a * x^2 + 2 * b * x = 1
wird
b^2 = a

6a + 2b = 0
und
b^2 = a
wird
a = 1/9
b = -1/3

f ( x ) = 1 / 9 * x^3 - 1 / 3 * x^2

Comments

Mit den Zwischenergebnissen  f(x) = ax³ + bx²   und  6a+2b = 0 (also b = -3a)  kommt man mit

 f(x) = ax³ - 3ax² = ax^2 • (x-3) schneller zum Ziel:

Es muss wegen α = 45° an der zweiten Nullstelle f '(3) = 1 gelten.

f '(3) = 3a • 9 - 6a • 3 = 9a = 1 →  a = 1/9 → b = -1/3

Answer 4

  Claro mache ich deine Hausaufgabe.

    " Sonst bringst du dir selbst nämlich etwas Falsches bei. "

    Weil es da nämlich Dinge gibt, die dein Lehrer gar nicht kennt bzw. dir verschweigt. " Berührt "heißt immer: ( Mindestens ) doppelte Nullstelle.

                  F  (  x  )  :=  x  ²  (  x  -  x3  )  =        (  1a  )

                                 =  x  ³  -  x3  x  ²            (  1b  )

        D.h. du hast effektiv nur noch eine Unbekannte, die dritte Nullstelle x3 ===> Linearfaktoren.

       Aufmerksame Leser werden den ===> Leitkoeffizienten k vermissen; ich sag ' s ja. Ihr alle befindet euch im Stande der Unwissenheit. Kubistische Polynome sind ein Sonderfall; für den WP zu bestimmen braucht's keine 2. Ableitung

    

" Gestalte deine Antwort immer so einfach, durchsichtig und verständlich wie möglich. "

    Stets gehst du aus von Normalform ( 1b ) ; ich habe diesen LK also mit Bedacht weg gelassen. Diktat für Formelsammlung, Regelheft & Spickzettel

           x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  1/3  x3  =  1  ===>  x3  =  3      (  2  )

         Im Prinzip ===> Radio Eriwan reichen diese uns Angaben schon für eine vollständige Kurvendiskussion. Ich selbst empfinde den LK bloß als " halbe " Unbekannte; gesucht war ja in ( 1ab )

            f  (  x  )  =  k  F  (  x  )      (  3  )

        Die Bestimmung von k lasse ich dir als Eigenleistung, damit du mal eigene Erfahrungen sammelst. Du kannst mir ja antworten in Form eines Kommentars.

      SOO sieht eine stilistisch vorbildliche Antwort aus.

       " Es ist alles eine Frage des Stils. "

      war schon der Wahlspruch von " Lil " , der 12-jährigen, im Übrigen völlig ungebildeten Tochter meiner Putzfrau, die noch nicht mal ihr Wechselgeld ausrechnen konnte . . .