Question

Zeigen Sie, dass jede Menge von Vektoren, welche den Nullvektor enthält, linear
abhängig ist.

Hallo Leute, hat jemand eine Idee zur Lösung dieser Frage:

wenn ich mir eine ine Menge nehmen Z.B :

$$ A := {{ a1 = \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}, a2 = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} , a3 = \begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix} }}$$

und dann durch 0 :
dann kommt man zu dem Ergebnis, dass ,

$$0 = 0 \cdot a_1 + 0 \cdot a_2 +  0 \cdot a_3$$
$$0 = 0 \cdot a_1 + 0 \cdot a_2 + 1 \cdot a_3$$
und in diesem Fall ist die Behauptung falsch.

bin ich richtig beigebracht oder nicht ? und .

Answer 1

Hallo, allgemein bedeutet ja lineare Unabhängigkeit von Vektoren \(v_1,...v_n\) in einem \(\mathbb{K}-\)Vektorraum \(V\), dass aus \(0_V=\sum\limits_{k=1}^n a_k\cdot v_k,\quad a_k\in \mathbb{K}\) stets

\(a_1=...=a_n=0_{\mathbb{K}}\) folgt. Verkürzt also:

\(0_V=\sum\limits_{k=1}^n a_k\cdot v_k,\quad a_k\in \mathbb{K} \quad \Longrightarrow \quad \forall k=1,...,n:\ a_k=0_{\mathbb{K}}\).

Das besagt nun, dass es auf keine andere Art und Weise möglich ist, mit den gegebenen Vektoren \(v_1,...v_n\), den Nullvektor zu erzeugen. Gelingt es dennoch den Nullvektor auch anders zu erzeugen (wie deine zweite Rechnung), so ist die Menge eben nicht linear unabhängig.