Zeige: f^−1= das g ∈Abb (Y, X) :g◦f= idX .Zeige dazu insbesondere, dass der Ausdruck wohldefiniert ist.

Question

Aufgabe:

Seien X, YMengen und f ∈ Abb (X, Y) bijektiv. Zeige: f^−1=  das g ∈Abb (Y, X) :g◦f= idX .Zeige dazu insbesondere, dass der Ausdruck wohldefiniert ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das lösen soll

Answer 1

Seien X, YMengen und f ∈ Abb (X, Y) bijektiv.

Zeige: f^−1=  das g ∈Abb (Y, X) :g◦f= idX .

Also : Es gibt genau ein g ∈Abb (Y, X) :g◦f= idX ,

dann ist es wohldefiniert.

Also 1. Es gibt so ein g und

2.  wenn für g und h aus Abb(Y,X)  gilt

         g◦f= idX und h◦f= idX , dann ist  g=h.

zu 1.: Da f surjektiv ist, gibt es zu jedem y∈Y (mindestens)

ein x∈X mit  f(x)=y . Da f injektiv ist, gibt es immer genau ein

x mit f(x)=y. Also wird durch g(y)=x <=> f(x)=y    # eine

Abbildung ∈Abb (Y, X) definiert. Für diese Abbildung gilt

für alle x∈X gof(x) = g( f(x)) = x  wegen #

                   also gof = id_X .

2. Sind g und h aus Abb(Y,X)  gilt
        g◦f= idX   ## und h◦f= idX ###

Dann ist zu zeigen:  g=h , also

für alle y∈Y gilt g(y)=h(y).

Sei also y∈Y. Dann gibt es (f surjektiv !)  ein x mit y=f(x).

            ==>  g(y) = g(f(x)) = gof(x) = x (wegen ##)

                  = hof(x)  (wegen ###) = h(y) .   q.e.d.