Seien X, YMengen und f ∈ Abb (X, Y) bijektiv.
Zeige: f^−1= das g ∈Abb (Y, X) :g◦f= idX .
Also : Es gibt genau ein g ∈Abb (Y, X) :g◦f= idX ,
dann ist es wohldefiniert.
Also 1. Es gibt so ein g und
2. wenn für g und h aus Abb(Y,X) gilt
g◦f= idX und h◦f= idX , dann ist g=h.
zu 1.: Da f surjektiv ist, gibt es zu jedem y∈Y (mindestens)
ein x∈X mit f(x)=y . Da f injektiv ist, gibt es immer genau ein
x mit f(x)=y. Also wird durch g(y)=x <=> f(x)=y # eine
Abbildung ∈Abb (Y, X) definiert. Für diese Abbildung gilt
für alle x∈X gof(x) = g( f(x)) = x wegen #
also gof = idX .
2. Sind g und h aus Abb(Y,X) gilt
g◦f= idX ## und h◦f= idX ###
Dann ist zu zeigen: g=h , also
für alle y∈Y gilt g(y)=h(y).
Sei also y∈Y. Dann gibt es (f surjektiv !) ein x mit y=f(x).
==> g(y) = g(f(x)) = gof(x) = x (wegen ##)
= hof(x) (wegen ###) = h(y) . q.e.d.
