Gibt es große pythagoreische Tripel, deren Kathetenlängen sich um 1 unterscheiden?

Question

Gleichschenklige pythagoreische Dreiecke kann es nicht geben, weil jede natürliche Schenkellänge n zu einer Hypotenusenlänge n√2 gehört. Aber es gibt pythagoreische Dreiecke, deren Kathetenlängen sich (prozentual) minimal unterscheiden. So ist zum Beispiel (119, 120, 169) ein pythagoreisches Tripel dessen Kathetenlängen sich um weniger als 1% unterscheiden. Dies führt zu der Frage: Gibt es große pythagoreische Tripel, deren Kathetenlängen sich um 1 unterscheiden?

In der ersten Annäherung an diese Frage lassen wir einen Computer nach Zahlen suchen, für die √(n²+〖(n+1)]² ) eine natürliche Zahl ist und finden 3, 20, 119, 696, 4059.
Die zugehörigen pythagoreischen Tripel sind leicht zu finden. Im Tripel (m²-n², 2mn, m²+n²) sollen m und n die ‚Erzeugenden des Tripels‘ heißen. So erhalten wir
Das Tripel (3,4,5) mit den Erzeugenden (1,2),
das Tripel (20,21,29) mit den Erzeugenden (2,5),
das Tripel (119,120,169) mit den Erzeugenden (5,12),
das Tripel (696,697,985) mit den Erzeugenden (12,29),
das Tripel (4059,4060,5741) mit den Erzeugenden (29,70).
In dieser Liste fällt auf, dass dem Erzeugendenpaar (n_k+2, m_k+2) ein
Erzeugendenpaar (n_k+1, m_k+1) mit m_k+1=n_k+2 vorangeht.
Mit Hilfe eines der beiden Gleichungspaare
a+1 = m₂²-m₁2
a=2m₁m₂
wenn m₁ gerade ist, beziehungsweise
a = m₂²-m₁²
a + 1 =2m₁m₂
wenn m₁ ungerade ist, lassen sich jetzt rekursiv weitere Tripel samt ihrer Erzeugendenpaare errechnen. Auf diese Weise ergibt sich die Rekursionsvorschrift
a₁=2
a_n+1=√(2a_n+1)+a_n wenn a_n gerade ist,
a_n+1=√(2a_n-1)+a_n wenn a_n ungerade ist.
Die Folge 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, …, welche diese Rekursionsvorschrift erzeugt, finden wir in der Online Encyclopedia of Integer Sequences. Dort werden ihre Glieder ‚Pell-numbers‘ genannt und es wird die einfachere Rekursionsvorschrift a₁=1; a₂=2; a_n=2a_n-1+a_n-2 angegeben. Die Annahme, der Quotient aufeinanderfolgender Glieder der Folge mit dieser Rekursionsvorschrift habe einen Grenzwert q, führt auf aqⁿ=2aq^n-1+aq^n-2 mit den Lösungen q_1/2=1±√2. Da die Folge monoton steigt, entfällt die negative Lösung. Damit erzeugt die Folge beliebig gute rationale Näherungen von √2. Zum Beispiel ist 408/169≈√2+1 und damit √2≈239/169. Die gleiche Lösung hätte man mit dem Ansatz (√2-1)7≈0 erhalten. Auch der Ansatz (√2-1)ⁿ≈0 erzeugt beliebig gute rationale Näherungen von √2 und damit letztlich auch Erzeugende von pythagoreischen Tripeln (a, a+1, c). Die Folge 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, … findet man auch in dieser Liste:
(√2 – 1)²=3 - 2·√2,
(√2 – 1)³=5·√2 - 7,
(√2 – 1)⁴=17 - 12·√2,
(√2 – 1)⁵=29·√2 - 41,
(√2 – 1)⁶=99 - 70·√2,
(√2 – 1)⁷=169·√2 - 239,
(√2 – 1)⁸=577 - 408·√2.

Die Pell-Folge hat einen Beziehungsreichtum, der zwar noch nicht die Fibonacci-Folge erreicht, aber auch schon bemerkenswert ist.