Nimm die Definition der Stetigkeit:
f stetig bei x=0 bedeutet doch:
Für alle ε>0 gibt es ein δ>0 mit |x-0| < δ ==> | f(x)-f(0)| <ε
Da bei deiner Funktion f(0)≠0 ist, gilt | f(0) | > 0, also auch
ε = | f(0) | > 0. Also gibt es auch zu diesem ε ein δ
mit |x-0| < δ ==> | f(x)-f(0)| <ε
==> | f(x)-f(0)| < | f(0) |
==> - | f(0) | < f(x)-f(0) < | f(0) |
==> - | f(0) | + f(0) < f(x) < | f(0) | + f(0)
1. Fall: f(0)>0 ==> - | f(0) | + f(0) = 0 und | f(0) | + f(0) = 2f(0) > 0
also sagt dann #, dass f(x) für alle x mit |x-0| < δ zwischen 0 und einer pos.
Zahl liegt, also positiv und damit ungleich 0 ist.
2. f(0) < 0 entsprechend, dann ist dort immer f(x) < 0 , also auch ungleich 0.
Und |x-0| < δ ist ja gerade die Bedingung x ∈ ( -δ ; δ ).
