Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau 245 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden?

Question

Aufgabe:

Die Zeit  (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden, hat annähernd eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit folgender Dichtefunktion:

Text erkannt:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & x<0 \\ 0.0077 \cdot \exp (-0.0077 x) & x \geq 0\end{array}\right. \)

a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau 245 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser nicht mehr als 106 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.) 

c. Nach wie vielen Tagen hat ein Arbeitsloser mit einer Wahrscheinlichkeit von 78 % eine Anstellung gefunden?

d. Wie viele Tage dauert es im Mittel, bis ein Arbeitsloser wieder eine Anstellung findet?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass a. 0 ist nur leider kenne ich den Rechenweg für die übrigen nicht.

Answer 1

Aloha :)

Zunächst überlegen wir uns die Verteilungsfunktion \(F(x)\):$$F(x)=\int\limits_0^xf(t)dt=\int\limits_0^x 0,0077\,e^{-0,0077t}dt=\left[-e^{-0,0077t}\right]_{t=0}^x=1-e^{-0,0077x}$$

a) Hier kommt theoreitsch null heraus, denn:$$p_a=\int\limits_{245}^{245}f(x)dx=F(245)-F(245)=0$$

b) Hier können wir einfach rechnen:$$p_b=\int\limits_{0}^{106}f(x)dx=F(106)\approx0,557892=55,79\%$$

c) Hier müssen wir die Stammfunktion gleich \(0,78\) setzten:

$$\left.F(x)=0,78\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.1-e^{-0,0077x}=0,78\quad\right|-1$$$$\left.-e^{-0,0077x}=-0,22\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.e^{-0,0077x}=0,22\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.-0,0077x=\ln(0,22)\quad\right|:\,(-0,0077)$$$$\left.x=\frac{\ln(0,22)}{-0,0077}\approx196,64\quad\right.$$

d) Hier müssen wir den Mittelwert bestimmen:

$$\overline x=\int\limits_0^\infty x\cdot0,0077\,e^{-0,0077x}\,dx=0,0077\int\limits_0^\infty\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-0,0077x}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{\overline x}=0,0077\left[\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{-0,0077x}}{-0,0077}}_{=v}\right]_0^\infty-0,0077\int\limits_0^\infty\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-0,0077x}}{-0,0077}}_{=v}dx$$$$\phantom{\overline x}=\left[-xe^{-0,0077x}\right]_0^\infty+\int\limits_0^\infty e^{-0,0077x}dx=0+\left[\frac{e^{-0,0077x}}{-0,0077}\right]_0^\infty$$$$\phantom{\overline x}=0-\frac{1}{-0,0077}\approx129,87$$Nach etwa 130 Tagen hat ein Arbeitsloser also einen neunen Job gefunden.

Bemerkung: Praktisch verwendet man oft eine sog. "Stetigkeitskorrektur". Habt ihr das schon besprochen? Wenn ein Arbeitsloser mindestes \(244,5\) Tage und maximal \(245,5\) Tage zur Arbeitssuche benötigt, wird auf \(245\) Tage gerundet. Damit wäre dann bei Teil a)$$p_a=\int\limits_{244,5}^{245,5}f(x)dx=F(245,5)-F(244,5)\approx0,001167=0,1167\%$$

Answer 2

Die Zeit (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden,

Das sei die Zufallsgröße \(X\).

b. \(P(X \leq x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t\)

c. Löse die Gleichung \(P(X\leq x) = 0{,}78\)

d. \(E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\)