Vollständige Induktion (Beweis des Distributivgesetzes mittels rekursiven Definitionen von Addition und Multiplikation)

Question

Aufgabe 1:

Beweisen Sie das Distributivgesetz für den Bereich der natürlichen Zahlen mit vollständiger Induktion. Dazu muss die folgende Aussage mit Induktion nach n bewiesen werden:

Sind k und m beliebig gewählte natürliche Zahlen, dann gilt für alle n ∈ℕ die Gleichung  k   (m  + n) = k*m + k*n.

Zum Beweis sollte man nur die rekursiven Definitionen der Addition und Multiplikation und das Assoziativgesetz der Addition verwenden.

 

Aufgabe 2:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion.

 - Für jede natürliche Zahl n ist die Zahl a_n = 2n³ + 3n² + n durch 6 teilbar.

 - Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt: ∑ⁿ_i=1 = (n(n+1)(2n+1))/6

Answer 1

Beweis: Für jede natürliche Zahl n ist die Zahl a_n = 2n³ + 3n² + n durch 6 teilbar.

Ich zeige das es für 1 gilt:

2*1^3 + 3*1^2 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6

6 ist durch 6 teilbar und damit ist das gezeigt. Jetzt zeige ich das es für n+1 gilt unter der Annahme das es für n gilt.

2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n + 1)

2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 3(n^2 + 2n + 1) + n + 1

2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 + 3n^2 + 6n + 3 + n + 1

2n^3 + 3n^2 + n + 6n^2 + 12n + 6

(2n^3 + 3n^2 + n) + (6n^2 + 12n + 6)

(2n^3 + 3n^2 + n) + 6(n^2 + 2n + 1)

Hier habe ich jetzt die Addition zweier Summanden, die beide durch 6 Teilbar sind. Damit ist auch die Summe durch 6 teilbar. Daher ist es durch vollständige Induktion gezeigt.

Comments

Den Nachweis für die Summenformel der Quadratzahlen über vollständige Induktion findest du unter

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm