Vollständige Induktion: Addition ungerader Zahlen ergibt eine Quadratzahl

Question

Ich hab ja so ein Mathe LK Buch gerade neben mir liegen und gaaannnnzzzzzzz hinten sind paar Beweise zum Beispiel die Vollständige Induktion. Da steht:

Addiert man die ungeraden Zahlen von 1 angefangen bis zu einer bestimmen ungeraden Zahl, z.B. bis zu 7 oder bis zu 11, so erhält man eine Quadratzahl:

1+3+6+7=16= 4² oder 1+3+5+7+9+11= 36=6² oder 1+3+5 = 9 = 3²

jetzt steht da, dass man es systematisch und schrittweise herausfinden kann, ob das nur Zufall oder immer so ist...

ja schön und gut aber braucht man denn da nicht das Summenzeichen???

 

Nein und bitte denkt nicht, dass ich das jetzt schon lernen will...es hat mich nur kurz interessiert und ich lese es nur :)

Comments

Wir hatte mal vollständige induktion.um etwas zu beweisen braucht man nicht immer das summen zeichen. Dieses beispiel koennte ich mal selbst versuchen. An>n+1 oder so ähnlich. 2n-1 beschreibt ungerade zahlen. So koennte man es versuchen. Ich versuch es mal. Kann aber für nichts garantieren^^.

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Summe 2n-1 = n^2. i=1 bis n. Danach an> n+1

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Ah ok ok... hab zwar nicht viel verstanden, aber trotzdem Danke Immai :)

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Man muss schauen das linke seite und rechte seite gleich sind. Dann macht man ein beispiel n=1 und testet und wenn das richzig ist. Kannst du eine annahme machen an folgt n +1. Und so beweist man.

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Hat aber jetzt bei mir nicht so richtig geklappt hab bestimmt formfehler und so gemacht. Ist für mivh länger her^^. Aber da kommz bestimmt noch einer und stellt es richtig^^.

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Ahso:) und ist ja nicht schlimm, dass es nicht gelungen ist ^^

!

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Aber ich werde das bald eh lernen muessen dann kann ich es richtig machen^^.

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Studierst du oder machst du noch dein Abitur? :)

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Ich studiere bin im ersten semester. Aber garade im urlaubsemeater. Aber ich hab einen komulitunen der mir alles schickt und ich lerne im vorruas.

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Ahsoo das ist ja cool :)

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Yap yap. Und du abi?

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Nein noch nicht :)
bin noch erst in der 10.Klasse Realschule ^^

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Respekt dafuer machst du ja ziemlich viel^^. Gut gut weiter so. Sobald ich helfen kann gerne.

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Haha ja ich versuch das einfach:)

Danke Immai:)

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Willst du auch mal mathe studieren oder irgendwas technisches?.

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ja ich will auch mal mathe studieren:)

ist das seehhhrrr schwer? ja oder?

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Ich wuerde es mal so sagen. Einfach nicht aber auch nicht sooo schwer. Zum erfolg ist das wichtigste Erstmal das ew dir spass macht dad ist a und o. Weil sonat bist du frustriert beim lernen und dann wird das nix. Wenn man sich muehe gibt und lernt und lernt und lernt und lernt. Passt das locker hin. Zudem ist das was ich gesagt natuerlich davon abhängig wie schnell du lernst. Aber ohne das es dir spass macht vergiss. Deine schul note sagt nichts darueber hinaus ob du mathe studier fähig bist. Es sagt nur eins aus du musst viel nach holen und nivht faul. Auch wenn du eine 1 hast in mathe sagt es nichts darueber ob du es schaffat oder nicht. Ob du das fach magst oder nicht und viel fleissig lernen. Das sind die wichtigaten sachen.

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Ja also es macht mir sehr Spaß. Ich kann ja kaum warten, bis ich diese Sachen in der Oberstufe lerne... deshalb kann ich nicht abwarten und lerne schonal vor ^^

ja du hast natürlich Recht. Aber bis dahin....hab ich noch Zeit :) :D

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Das du es liebst ist sehr gut und ich kann es nach empfinden. Es ist auch gut das du schon mal sachen vor lernst.^^ weiter so:)

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Kein problem.

Answer 1

das ist mir jetzt nicht so gut gelungen aber ungefähr so muesste es aussehen^^.

Comments

Hi immai,

das Gleichheitszeichen nach der Summe hat da nichts verloren. Die Summe wirkt ja erst noch auf den Term.


Zudem its meiner Meinung nach die Argumentation nicht zu Ende geführt. Du hast da zwar was doppelt unterstrichen, das wars aber auch schon :P.


Ich würde es so machen, wie ich es gleich vorstelle (Ohne Summenzeichen), geht auch mit Summenzeichen, würde das aber wohl schnell splitten.

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Hab den beweis von dir noch nicht gesehen. Aber was meinst du mit splitten? Mir ja klar das es nicht ganz geklappt hat und es uch gesagt und auch gehofft das du es noch mal richtig zeigst^^.

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Man bekommt ja in der Summe letztlich einen Summanden dazu. Ein übliches Vorgehen wäre nun den letzten Summanden der neuen Summe herauszuschreiben. Sprich man hat die alte Summe + neuen Summanden. Die alte Summe kann durch die bekannte Voraussetzung ersetzt werden, und Du kommst direkt zu meiner Vorstellung ;). Also den orangenen Teil (ist ja das gleiche, nur das ich das Summenzeichen nicht verwendet hatte).

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ist es so besser???

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Nein, leider auch nicht. Schon stimmt Deine Summe an sich nicht, da die Laufvariable identisch ist mit n.

Bzw. Du hast die  Laufvariable richtig, diese taucht in der Summe aber gar nicht auf.


Sauber wäre es wohl so:


Ind.vor.:

$$\sum_{i = 1}^n (2i-1) = n^2$$

Ind.:

$$\sum_{i = 1}^{n+1} (2i-1) = (n+1)^2  \quad|\text{letzen Summand rausnehmen}$$

$$(2(n+1)-1) + \sum_{i = 1}^n (2i-1) = (n+1)^2  \quad|\text{Ind.vor. anwenden}$$

$$2n+2-1 + n^2 = (n+1)^2$$


Rest siehe bei mir

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Ah ok das musa ich später genauer lwnren.ich bin zur zeit mit lia beachäftigt. (Lineare algebra). Werde nacher bestimmt noch fragen reinstellen.

Answer 2

Der Beweis mit vollständiger Induktion fordert erst mal einen Anfang.

 

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2

 

Für n = 1 passt das, denn

(2n-1) = 2-1 = 1

und

n^2 = 1

Also 1 = 1.

 

Nun für (n+1) zeigen, wobei wir bereits wissen, dass

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2

gilt:

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) + (2(n+1)-1)= (n+1)^2

n^2 + 2n+2-1 = (n+1)^2

n^2+2n+1 = (n+1)^2

(n+1)^2 = (n+1)^2

 

Damit ist die Sache nun gezeigt.

 

Grüße

Comments

Danke Unknown:) Ich hab aber den Stern schon vergeben, weil ich dachte, dass keine Antwort mehr kommt :)

Aber ich kann dich mit einem Pluspunkt glücklich machen:D

Es hatte mich nur Intereressiert :)

Danke:)

Und würde das mit einem Summenzeichen nicht gehen, wie es der Immai gemacht hat?:)

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Kein Problem^^.


Doch, mit dem Summenzeichen geht das auch.

Sieht dann aber für den Anfänger etwas komplizierter aus. So wie es immai gemacht hat, dürfte es allerdings nicht funktionieren. Aber da Du das Summenzeichen wohl eh nicht kennst, würde das hier zu weit führen ;).

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Ahso ja:)

Danke für deine Hilfe :)