Die Arbeit mit WKT-Dichten ist schon lange her bei mir, aber ich will mich mal daran versuchen, ob das 100% richtig ist, was ich schreibe möchte und kann ich nicht garantieren:
Die Frage a) kann man getrost mit 0 beantworten, da Du eine WKT-Dichte verwendest und die Wahrscheinlichkeit einer PDF (probability density function) erhält man ja über ein Integral. Also der integrierte Wert liefert die Wahrscheinlichkeit und wenn man ein Integral von a bis a bildet, dann ist der Wert 0. Anders gesagt, man kann ja nur dann einen Integrationswert erhalten, wenn man über ein Intervall integriert, doch das Intervall von [a,a] ist ja eine einelementige Menge und damit kein Intervall mehr.
ℙ (x = 194) = \( \int\limits_{194}^{194} \) f(x) dx = 0
b) ℙ (x > 126) = ℙ (x ≥ 127) = \( \int\limits_{127}^{\infty} \) f(x) dx = [-exp(-0,0011*∞] - [-exp(-0,0011*127] = 0 + 0,8696 = 86,96 %
c) Ich verstehe das als mindestens-Aufgabe im Sinne von "Wie viele Tage muss er mindestens suchen, um einen Job zu finden"
ℙ (x ≤ a) = 0,85
ℙ(x ≤ a) = \( \int\limits_{0}^{a} \) f(x) dx = [-exp(-0,0011*a] - [-exp(0,0011*0] = 0,85
-exp(-0,0011*a) + 1 = 0,85
exp(-0,0011*a) = 0,15
-0,0011*a = ln(0,15)
a = 1724,65 ==> mindestens 1725 Tage
d) Hier würde ich (und ich bin absolut nicht sicher, ob das stimmt) den Erwartungswert berechnen:
E(x) = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x*f(x) dx = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) 0,0011x*exp(-0,0011x) dx
a ∫x*exp(-ax) dx Partielle Integration: u = x u' = 1 v = \( \frac{exp(-ax)}{-a} \) v' = exp(-ax)
a ∫x*exp(-ax) dx = a [\( \frac{-x}{a} \) * exp(-ax) - ∫ \( \frac{1}{-a} \)exp(-ax) ] dx
= (-x) * exp(-ax) - \( \frac{1}{a} \) exp(-ax)
damit erhalten wir (mathematisch nicht ganz sauber, ich weiß aber formell sollte es paßen):
E(x) = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x*f(x) dx = lim(x -> ∞)[(-x)*exp(-ax) - \( \frac{1}{a} \) exp(-ax)] + [(0) * exp(-a*0) + \( \frac{1}{a} \) exp(-a*0)]
Der erste Summand enthält "∞" mal 0, doch die Exp-Funktion gewinnt und damit wird er Null
Der zweite Summand wird ebenfalls Null (exp(-∞) -> 0
Der dritte Summand wird ebenfalls Null (Null mal ...)
Der vierte Summand wird zu \( \frac{1}{a} \) und damit zu 909,09
Das heißt, im Mittel (wenn meine Lösung stimmt) braucht man 909 Tage um einen Job zu finden .... mir persönlich kommt das aber etwas viel vor ... also würde ich die Lösung mit Skepsis betrachten, etwas besseres fällt mir jetzt aber nicht ein ... Ich hoffe das hilft (und mir hat das Bearbeiten Spaß gemacht) =)
