Warum wird nochmal durch 3 geteilt?

Question

Mehere Erwachsene spielen ein Würfelspiel. Das Netz von dem Würfel ist in der unteren Abbildung gezeigt. Der Spieler zahlt einen Einsatz von 5 Euro und würfelt dann einmal. Anschließend wird ihm die Summe aller 5 sichtbaren Zahlen in Euro ausgezahlt

Die Frage ist:

Es wird 10-mal mit dem oben abgebildeten Würfel gespielt. Die Zufafallsvariable X beschreibt die Anzahl der Spiele bei denen 6 Euro ausgezahlt wird.

Erläutere, dass der Term (1/3) * P(X=9) die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass bei den 10 Spielen insgesamt 59 Euro ausgezahlt werden. (59 Euro können ausgezahlt werden, wenn bei neun Spielen 6 Euro und bei einem Spiel 5 Euro ausgezahlt wird.

Ich verstehe, dass der Ausdruck P(X=9) die Wahrscheinlichkeit für 9 Spiele mit einer Auszahlung von 6 Euro an. Warum wird nochmal durch 3 geteilt?

…

Answer 1

Wenn der Würfel auf einer 0 liegt, werden 6€ ausgezahlt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 3/6=1/2.

Bleibt er auf einer 1 liegen, werden 5€ ausgezahlt. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit 1/6.

Um 59€ zu gewinnen, muss man 9 Mal 6€ bekommen. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit (1/2)^9.

Außerdem muss einmal 5€ dabei sein, die an 1., 2., 3., ... oder 10. Stelle sein können.

P(59€)=(1/2)^9*10*1/6

Nun fehlt noch P(X=9).

Die Wahrscheinlichkeit für genau 9 Mal 6€ bedeutet, dass genau einmal nicht 6€ gewonnen wird.

Das ist der Fall, wenn der Würfel auf einer 1, 2 oder 3 liegen bleibt. Und dafür gibt es wieder 10 Möglichkeiten.

P(X=9)=(1/2)^9*10*1/2

Nun vergleichen wir das Fettgedruckte:

10*1/6=5/3

10*1/2=5

Also ist P(59€)=1/3*P(X=9)

:-)

Comments

Könntest du mir deinen letzten Schritt nochmal erklären bitte?

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Ich verstehe nämlich nicht, was du damit meinst
"Die Wahrscheinlichkeit für genau 9 Mal 6€ bedeutet, dass genau einmal nicht 6€ gewonnen wird.

Das ist der Fall, wenn der Würfel auf einer 1, 2 oder 3 liegen bleibt. Und dafür gibt es wieder 10 Möglichkeiten.

P(X=9)=(1/2)⁹*10*1/2"

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Im Prinzip verstehe ich nicht, warum nicht P(59€)=(1/2)9*10*1/6 schon das Ergebnis ist?

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Hallo,

9 Mal 6€ zu gewinnen heißt ja nicht, auf jeden Fall 59€ zu bekommen.

Man kann ja 3 oder 4 oder 5 oder 6 Euro pro Spiel gewinnen.

Davon fällt die 6 weg, da es sonst 10 Mal 6€ wäre. Also muss einmal 3 oder 4 oder 5 kommen.

Für 59€ muss einmal 5 kommen.

Also P(5)/P(3 oder 4 oder 5)=1/3

:-)

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Allerdings verstehe ich nicht warum du die Wahrscheinlichkeit für eine 5 bekommen durch die Wahrscheinlichkeit eine 3, 4 oder 5 zu bekommen teilst?

Wäre Ihnen dankbar für eine Antwort.

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Irgendwie stehe ich gerade aufm Schlauch...

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Meinst du damit, dass es eine bedingte Wkt.? Ich glaub ich bin durcheinander ;-)

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Du denkst zu kompliziert.

Es sollen doch zwei Wahrscheinlichkeiten verglichen werden.

Für die Summe 59 brauchst du 9 Sechsen und eine 5.

Für genau 9 Mal 6 Euro brauchst du 9 Sechser und eine 3, 4 oder 5.

Da 3, 4 und 5 gleich wahrscheinlich sind, ist 9 Mal 6 Euro dreimal wahrscheinlicher als 59 Euro.

:-)

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Bisher habe ich verstanden, dass P(X=9) = (1/2)⁹*10*1/2 ist. Das ist also die Wkt. dafür, dass ich schon neun mal gewürfelt habe und daher bisher 54 Euro bekommen habe. Nun brauche ich im nächsten, da ich insgesamt 10 Mal würfele, eine 5. Ich kann jedoch auch eine 3 oder 4 bekommen, allerdings keine 6, da es sonst X=10 wäre.

Die Wkt. für 3,4 und 5 ist jeweils 1/6. Nun verstehe ich nicht, wie man die Wkt. dafür berechnet, dass im nächsten würfeln eine 5 als Ereignis eintritt...das ist ja nicht 1/6...? Diese Wkt. muss man doch mit P(X=9) multiplizieren, oder? Also diese zwei Schritte verstehe ich irgendwie nicht...

Würde mich über eine Antwort nochmal freuen und mich bei Ihnen bedanken! ;-)

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Lies dir noch einmal meine Antwort und Kommentare durch. Ich würde mich jetzt nur noch wiederholen.

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Ich wäre dir dankbar, wenn du mir nochmal P(5)/P(3 oder 4 oder 5)=1/3 erklären könntest.

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worin unterscheiden sich denn die Ereignisse "9 Mal 6 Euro" und "59 Euro".

"9 Mal 6 Euro":

6666666663

6666666664

6666666665

"59 Euro"

6666666665

Also ist "9 Mal 6 Euro" dreimal so wahrscheinlich wie "59 Euro".

:-)