Zeigen, dass eine Abbildung bilinear ist

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N} \) eine natürliche Zahl und \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Matrix. Zeigen Sie, dass die Abbildung:
\(\phi_{A}: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \quad, \quad(v, w) \mapsto v^{t} \cdot A \cdot w\)
bilinear ist.

Answer 1

Du musst nur die Linearitätseigenschaften in beiden Komponenten prüfen,

also Φ_A(a+b,c) = Φ_A(a,c) +  Φ_A(b,c)  und   Φ_A(a,b+c) = Φ_A(a,b= +  Φ_A(a,c)

und entsprechend für alle x∈ℝ  Φ_A(x*a,b) = x*Φ_A(a,b)
und für die 2. Komponente..

Das erste etwa so:  Φ_A(a+b,c) = (a+b)^t * A * c   (nach Def. )

             =  (a^t+b^t )* A * c   (Regel beim Transponieren)

            = ( a^t * A +b^t * A )  * c (Rechnen mit Matrizen und Vektoren)

           =  a^t * A *c   +    b^t * A  * c (Rechnen mit Matrizen und Vektoren)

      =  ΦA(a,c) +  ΦA(b,c)            (nach Def. )    q.e.d.