Wie geht Homogen und Inhomogen?

Question

Aufgabe:

x₂ + 2x₄ = 1 − x₁ − x₅
x₁ + 2x₂ + x₄ + x₅ = 4 − x₃
3x₅ + 7x₄ + 3x₁ + 3x₂ = 6
3x₂ + 4x₄ + 2x₁ + 2x₅ = 2.

(a) Wie sieht die allgemeine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems aus?
(b) Bestimmen Sie eine spezielle Lösung.
(c) Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums zum zugehörigen homogenen Gleichungssystem.

Problem/Ansatz:

Ich habe Homogene und Inhomogene recherchiert aber weiß jetzt immernoch nicht ganz was ich zu den Einzelnen Teilaufgaben schreiben soll.. Ich habe die Gauß-Algorithmus gemacht und meine Lösung wäre: x₁ = -5, x₂ = 0, x₃ = 6, x₄ = 3, x₅ = 0  .. Aber wie geht Homogene und Inhomogene? Könnt ihr mir helfen bitte..

Answer 1

Du hast Teil b) richtig gelöst.

Für c) musst du die Zahlen ohne x alle durch 0 ersetzen

(Das ist dann das homogene System.) und auf die

Matrix dann den Gauss-Alg. anwenden, Ich bekomme

dann
1   0   0   0   1
0   1   0   0   0
0   0   1   0   0 
0   0   0   1   0

==> Für die Lösungen des homogenen Systems

ergibt sich : x5 kann man frei wählen, etwa t

==>  Alle Lösungen sind von der Form

              ( -t ; 0 ; 0 ; 0 ; t )

Eine Basis des Lösungsraumes also etwa

    ( -1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ) .

Und bei a) ergab sich ja       ( -5-t ; 0 ; 6 ; 3 ; t ).