Differentialgleichung mit Sinusfunktion lösen (homogen/inhomogen?)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das dynamische System

φ''(t) = -φ'(t)-sin(φ)

a) Zeichnen Sie das Phasenportrait (Ruhelagen/Trajektorien)

b) Berechnen Sie alle Ruhelage

c) Begründen Sie warum der Ursprung des Phasenportraits eine asymptotische stabile Ruhelage ist

Problem/Ansatz:

1) Ich stelle um: φ''(t) + φ'(t) + sin(φ) = 0

F1) M. E. handelt es sich um eine homogene DGL, da sin(φ) keine Störfunktion ist, oder?

F2) Mit sin(x) wäre es als Störfunktion zu behandeln, oder?

2) Charakteristische Gleichung:

λ² + λ + sin (φ) (???)

F3) Nach pq-Formel kann ich hier scheinbar nicht auflösen? Wie gehe ich mit dem dem Sinus bzw. φ um?

Vorab vielen Dank!!

Comments

Noch im Skript gefunden:

Für kleine Auslenkungen φ folgt aus der Kleinwinkelnaherung sin φ ≈ φ die
linearisierte Gleichung des mathematischen Pendels.

Answer 1

Hallo

den Ansatz mit e^λt kann man nur für die homogene  lineare Dgl machen , dies hier ist keine lineare Dgl,

mit sin(t) wäre es eine Störfunktion.

da auch φ' vorkommt ist es eine gedämpftes Pendel. und lösen kannst du nur mit der Kleinwinkelnäherung, Aber es wird ja auch kein explizite Lösung gefragt! sondern nur das Phasenporträt und Ruhelage.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Über die Kleinwinkelnäherung sinφ ≈ φ => φ'' + φ' + φ = 0

Komme auf

λ1 = -\( \frac{1}{2} \)+j\( \sqrt{\frac{3}{4}} \)

λ2 = -\( \frac{1}{2} \)-j\( \sqrt{\frac{3}{4}} \)

Wie berechne ich denn jetzt daraus die Ruhelage und zeichne das Phasenportrait?

Eigenvektor macht keinen Sinn oder?

Zu c) würde ich antworten: φ(t) lim->∞ => -∞

Da EW beide negativ, ist die Ruhelage asymptotisch stabil. -> Pendelbewegung zum Ursprung

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Hallo

für das Phasenporträt, wandle in ein System von Dgl erster Ordnung, x=φ, y=φ'

x'=y,y'=-y+sin(x)

für das Phasenporträt benutze : in der x-y Ebene die Richtungen von (x',y') einzeichnen , wenn du es noch nie gemacht hast empfehle ich

https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html

und das mit  t gegen oo überleg noch mal, es ist eine gedämpfte Schwingung!

Gruß lul

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Das Pendel läuft sollte gegen 0 laufen ... :D

Genial mit der Umwandlung, wäre ich aber selbst nie drauf gekommen.

Da x' positiv ist -> Spirale zum Ursprung gegen den Uhrzeigersinn (???)

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Sieh dir im Phasenporträt noch mal x=n*pi an

zeichnen mit "Variable length arrows" mindesten  40 Pfeile,  x bis mindesten 13

lul