Determinante = 0, falls 2 identische Spalten existieren

Question

Aufgabe:

Wir betrachten det: KN×N → K mit N ≥ 2.

Beweisen Sie, dass die Determinante einer Matrix A gleich 0 ist, falls diese
zwei identische Spalten besitzt durch vollständige Induktion über N.

Hinweis: Der Induktionsanfang ist bei N = 2. Wählen Sie im Induktionsschritt
(N > 2) eine geeignete Spalte zum Entwickeln und nutzen Sie nur den Laplaceschen Entwicklungssatz.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider noch keinen Ansatz, würde mich also über jede Hilfestellung freuen

Mit freundlichen Grüßen

yasadboii

Answer 1

Induktionsanfang ist wohl klar.

Ansonsten: Wenn es für alle A ∈ K^(n·n) gilt und du hast B ∈ K^(n+1)·(n+1)

mit zwei gleichen Spalten, dann gibt es 2 Fälle:

1. Alle Spalten von B sind einander gleich, dann entwickle nach der ersten, und die

dabei auftretenden Unterdeterminanten haben auch alle 2 gleiche Spalten, sind

also alle gleich 0 und damit liefert der Entwicklungssatz auch det(B)=0.

2. Es gibt eine von den gleichen Spalten verschiedene Spalte. Dann entwickle nach der

und die dabei auftretenden Unterdeterminanten haben auch alle 2 gleiche Spalten, sind

also alle gleich 0 und damit liefert der Entwicklungssatz auch det(B)=0.