eine stetige Zufallsvariable X hat folgende Dichtefunktion...

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Eine stetige Zufallsvariable $X$ hat folgende Dichtefunktion
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{x \ln (10)} & 1 \leq x \leq 10 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right.$$
Berechnen Sie die folgenden Größen. (Hinweis: Stellen Sie zunachst allgemein die Verteilungsfunktion $F(x)$ auf, da diese fur mehrere Berechnungen verwendet werden
kann.)
a. $F(7.4)$
b. $P(X=14)$
c. $P(X \leq 8.3)$
d. $P(3.2 \leq X<8.7)$
е. $x_{0.2}$
f. $E(X)$

…

Problem/Ansatz: Hallo :) bei a) kommt 0,869 und b) ist null. Bei c) habe ich 0,0523 rausbekommen. Jedoch verstehe ich nicht wie man bei d) + e) + f) rechnet.

Answer 1

Aloha :)

Wir folgen dem Hinweis und bestimmen zunächst für die Dichtefunktion$$f(x)=\frac{1}{x\ln(10)}\quad;\quad x\in[1;10]$$die zugehörige Verteilungsfunktion:

$$F(x)=\int\limits_1^xf(t)dt=\int\limits_1^x\frac{1}{t\ln(10)}dt=\frac{1}{\ln(10)}\left[\ln|t|\right]_{t=1}^x=\frac{1}{\ln(10)}\left(\ln (x)-\ln(1)\right)$$$$F(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}=\lg(x)\quad;\quad x\in[1;10]$$wobei $\lg(x)$ der Logarithmus von $x$ zur Basis $10$ bedeutet. Damit können wir nun alle Fragen beantworten:

$$F(7,4)=\lg(7,4)\approx0,869232$$$$P(X=14)=F(14)-F(14)=0$$$$P(X\le8,3)=F(8,3)=\lg(8,3)\approx0,919078$$$$P(3,2\le X<8,7)=F(8,7)-F(3,2)=\lg(8,7)-\lg(3,2)\approx0,434369$$$$0,2\stackrel!=F(x_{0,2})=\lg(x_0,2)\implies x_{0,2}=10^{0,2}\approx1,584893$$

Bei der letzten Aufgabe müssen wir etwas rechnen:

$$E(X)=\int\limits_1^{10}x\cdot f(x)\,dx=\int\limits_1^{10}x\cdot\frac{1}{x\ln(10)}\,dx=\int\limits_1^{10}\frac{1}{\ln(10)}\,dx=\left[\frac{x}{\ln(10)}\right]_1^{10}$$$$\phantom{E(X)}=\frac{10}{\ln(10)}-\frac{1}{\ln(10)}=\frac{9}{\ln(10)}\approx3,908650$$