Wie untersuche ich eine Betragsfunktion auf Extremas?

Question

Ich brauche nur jemanden, der meine Ergebnisse kontrolliert.

Folgende Funktion soll auf Extrema untersucht werden.

g(x) = 1-sqrt(|x^2-1|) , x € IR

Meine Ergebnisse:

Mit Fallunterscheidung habe ich für g(x) folgendes raus:

1-sqrt(x²-1) ; x^2 >= 1 und 1 - sqrt(1-x^2) ; x^2 < 1

g(x) ist stetig für alle x € IR.

Die Ableitungsfunktion g'(x) = (-x)/(sqrt(x^2-1)) ; x^2> 1 und (x)/(sqrt(1-x^2)) ; x^2 < 1

weil an der Stelle x = 1 und x = -1 ist g nicht differenzierbar.

Die Funktion besitzt ein Minimum an der Stelle x = 0 und der Punkt ist P(0/0)

Stimmen meine Ergebnisse ?

Answer 1

Du musst an den Stellen, bei denen die Funktion nicht differenzierbar

ist, auch schauen, ob da Extrema sein können.

Weil der Wurzelterm nie negativ ist, gibt es nie

Werte größer als 1, aber 1 wird bei x= ±1 erreicht,

also sind dort lokale Maxima.

Sieht so aus ~plot~ 1-sqrt( abs(x^2-1)) ~plot~

Comments

Also sind es insgesamt drei Extremstellen? Stimmen die bisherige Ergebnisse oder sind da Fehler drin?

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Der Rest ist wohl OK.

Answer 2

Uups, mathef war schneller

Hallo,

Deine Antwort muss noch ergänzt werden:

Du hast festgestellt, dass für \(x \in (-1,1)\) die Ableitung von g nur eine Nullstelle hat, nämlich bei \(x=0\). Außerdem hat \(g'\) dort einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also ist g links von 0 fallend und rechts von 0 wachsen - also liegt in der Tat ein Minimum vor.

Die Tatsache, dass g in den Punkten \(-1\) und \(1\) nicht differenzierbar ist, bedeutet nicht, dass dort keine Extremum liegen kann. Vielmehr liegt bei beiden Punkten ein Maximum. Das kann man so zeigen (für \(-1\)):

- g' (wie von Dir berechnet) ist links von -1 positiv, also ist g dort wachsend. Und rechts von \(-1)\) ist g' negativ, also ist g zunächst fallend. Das bedeutet: Bei \(-1\) liegt ein Maximum.

Alternativ kann man argumentieren:

- \(\forall x: g(x) \leq 1\) und \(g(-1)=1\). Also liegt bei -1 ein Maximum.

Gruß

Comments

Also könnte ich für den Fall x = 1 einfach g'(2) und g'(1/2) untersuchen ?

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Naja, das ist ein wenig salopp. Ich würde eher so formulieren:

Für \(x \in (0,1)\) ist \(g'(x)>0\) und für \(x>1\) ist \(g'(x)<0\).

Dabei kommt es nur auf eine (kleine) Umgebung von 1 an. Es reicht also auch:

Für \(x \in (0.9,1)\) ist \(g'(x)>0\) und für \(x \in (1,1.1)\) ist \(g'(x)<0\).

Gruß

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Perfekt, vielen Dank. Dann kann ich ja jetzt die nächste Funktion untersuchen.