Faires Spiel sind die Ansätze korrekt?

Question

Aufgabe:

Du wirfst drei Münzen gleichzeitig. Die Anzahl der Münzen, die „Zahl“ zeigen ist der Gewinn.


a) Schreibe alle Ergebnisse auf.

b) Berechne den Erwartungswert.

c) Für dreimaliges werfen der drei Münzen musst du fünf Euro als Einsatz bezahlen. Prüfe, ob das Spiel fair ist.

Problem/Ansatz:

a) Also bei a habe ich p( 0,1,2,3) gefunden

b)E(x) = 0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8    x = 1,5

Wie muss ich jetzt c lösen und sind die Rechnungen korrekt?

Comments

Erste Version

Titel: Berechne den Erwartungswert.

Stichworte: erwartungswert,wahrscheinlichkeit,stochastik

Du wirfst drei Münzen gleichzeitig. Die Anzahl der Münzen, die „Zahl“ zeigen ist der Gewinn.

a) Schreibe alle Ergebnisse auf.

b) Berechne den Erwartungswert.

c) Für dreimaliges werfen der drei Münzen musst du fünf Euro als Einsatz bezahlen. Prüfe, ob das Spiel fair ist.

Problem/Ansatz:

Bei a habe ich folgendes gefunden: die möglichen Ergebnisse sind  die Zahlen 0, 1, 2 und 3.

Bei b) musst ich dann zu jeder dieser Zahlen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, bzw. überlegen, wieviele Pfade für jedes Ergebnis in Frage kommen aber ich weiß nicht wie ich es machen soll bitte helft mir weiter auch bei c.

---

Verbesserte Frage. Ich korrigiere deine Schreibweise: "b)E(X) = 0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8 , E(X) = 1,5 ."

Falls du bei b) etwas ausgerechnet hast, darfst du das Ergebnis nicht x nennen. Es ist dann E(X).

Answer 1

Aloha :)

zu a) Es gibt 8 mögliche Ergebnisse:$$KKK\quad KKZ\quad KZK\quad KZZ\quad ZKK\quad ZKZ\quad ZZK\quad ZZZ$$

zu b) Wir lesen aus a) folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten ab:$$p(0€)=\frac{1}{8}\quad;\quad p(1€)=\frac{3}{8}\quad;\quad p(2€)=\frac{3}{8}\quad;\quad p(3€)=\frac{1}{8}$$Das liefert als Erwartungswert für den Gewinn:$$\langle €\rangle=\frac{1}{8}\cdot0€+\frac{3}{8}\cdot1€+\frac{3}{8}\cdot2€+\frac{1}{8}\cdot3€=1,50€$$

zu c) Für 3 Spielwiederholungen musst du \(5€\) bezahlen. Die erwartete Auszahlung beträgt aber nur \(3\cdot1,50€=4,50€\). Das Spiel ist also aus deiner Sicht nicht fair.

Answer 2

EDIT: Die erste Version war weniger ausgereift. Meine Antwort bezieht primär sich darauf. Die Frage ist sicher nicht vollständig.

Es kann bei a) nicht nach "allen Ergebnissen" gefragt werden, wenn nur einmal 3 Münzen geworfen werden, gibt es nur ein "Wurfergebnis".

Hast du z.B. a) mehr als einmal gemacht?

1. Wurf zzk Gewinn zwei, 2. Wurf zkk Gewinn 1, 3. Wurf kkk Gewinn 0 usw.

b) Anhand der Pfadregeln, ergibt sich ja auf jedem Weg die Wahrscheinlichkeit (1/2)^3 .

Es gibt genau einen Pfad für den Gewinn 0. Somit P(0) = 1/8

Es gibt auch genau einen Pfad für den Gewinn 3. Also P(3) = 1/8

Aus Symmetriegründen gibt es gleich viele Pfade mit dem Gewinn 1 wie mit dem Gewinn 2. Deshalb P(1) = P(2) = ( 1 - 1/8 - 1/8) / 2 = (6/8) / 2 = 3/4

Erwartungswert für einmal mit 3 Münzen werfen ausrechnen gemäss Formel E(Gewinn) = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3)

Das hattest du in deiner urprünglichen Version schon berechnet.

c) Nun dieses Ergebnis mit 3 multiplizieren und 5 Euro subtrahieren. Fair wäre, wenn hier Null herauskäme.

Nun kommst du sicher selbst klar oder kannst meinen Ansatz berichtigen, falls nötig