Sieben Münzen mit Durchmesser. Ist dies möglich?

Question

Auf dem quadratischen Deckel eines Kästchens (5,9 cm× 5,9 cm) sollen 7 Münzen mit einem Durchmesser von je 3cm so abgelegt werden, dass sie sich nur am äußersten Rand berühren und nicht herunterkippen. Ist dies möglich?

Comments

Ist dies möglich?

Ja - und 8 Münzen gehen auch!

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Das mit den 8 Münzen kann ich nicht glauben.

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Bei 8 Münzen müsste die Kantenlänge des Kästchens dann allerdings
mindestens 1,5·(√2 + √6)  sein.

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Das mit den 8 Münzen kann ich nicht glauben.

so geht's:

Die Figur ist symmetrisch zur Achse \(AE_3\). Die Münzen mit den Mittelpunkten A, B, D und M liegen im Raster. Die Strecke \(|HE_3| = 3/\sqrt 2\). Damit ist \(|MH| \gt 3\) und für die Münze in G ist auch noch Platz.

Bei 8 Münzen müsste die Kantenlänge des Kästchens dann allerdings
mindestens 1,5·(√2 + √6)  sein.

Da \(1,5(\sqrt 2 + \sqrt 6) \lt 5,9\) ist, passt es ja!

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Deine Lösung sieht irgendwie pfiffiger aus als

Text erkannt:

\( \square \)

Answer 1

Ja , es ist möglich.

Eine Münze lege ich in die Mitte. Auf der Diagonale lege ich noch jeweils direkt daneben eine Münze, der Schwerpunkt liegt innerhalb des Quadrates.

Nun lege ich direkt an diese drei Münzen oben und unten je zwei Münzen. Wenn ich ein Quadrat mit der Diagonale 6 hätte, dann würden die Schwerpunkte der vier Münzen um \( 3*sin 15° \)über den Rand ragen,

Die Halbdiagonale müsste also größer als

\(3*(1+\sqrt{2} sin 15°)≈4,098 \space cm\) sein. Das ist aber der Fall.

$$4,17cm≈5,9/\sqrt{2} >3*(1+\sqrt{2} sin 15°)≈4,098cm$$