DGL lösen (Trennung der Variablen)

Question

Heyy ich soll die folgende DGL durch Trennung der Variablen lösen:

x²y=y‘+xy‘  mit der Anfangsbedingung y(0)=1

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist nun die Gleichung umzustellen zu:

dy/dx=(x²y)/(x+1)

Und folglich dy/y=x²/(x+1) *dx

Schließlich geht meine Rechnung nicht mehr auf denn ich erhalte durch die Stammfunktion

ln(|y|)=ln(|x+1|)+((x-2)x)/2) +C

Nach y auflösen:

y=x+1 + e^((x-2)x)/2) +e^C

y(0)=1+e^C die exponentialfunktion besitzt jedoch keine Nullstelle. Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt? Ich befürchte ich habe falsch umgeformt, weiß aber nicht an welcher Stelle..

Comments

Wie genau hast du x^2/(x+1) umgeformt?

Kontrollieren könntest du doch eigentlich mit "Einsetzen".

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Ich hab das folgendermaßen umgeformt:

y‘+x*y‘=x^2*y

(x+1)*y‘=x^2*y

y‘= (x² *y)/(x+1)

dy/dx =(x² *y)/(x+1)

dy= (x2 *y)/(x+1)*dx

dy*(x+1)=x^2 *y*dx

dy/y = x^2/(x+1) dx

Anders habe ich es leider nicht geschafft.

Answer 1

Beim Auflösen nach y stimmt was nicht:

ln(|y|)=ln(|x+1|)+((x-2)x)/2) +C

==>  y = e^(ln(|x+1|)+((x-2)x)/2) +C)

==>  y = e^(ln(|x+1|)  * e^((x-2)x)/2)  * e^C

      y = |x+1| * e^((x-2)x)/2)  * e^C

y(0)=1 ==>

      1 = 1   *  1  * e^C

==>  e^C = 1 ==>   C=0 .

Comments

Oh stimmt, vielen Dank da hatte ich wohl einen blöden Denkfehler :)