DGL durch Trennung der Variablen lösen?

Question

wie kann ich diese Aufgabe (DGL) durch Trennung der Variablen lösen?

Aufgabe:  y'(1 + x²) = xy

,

mistermathe

Answer 1

  y'(1 + x^2) = xy

y'/y=x/(1 + x^2)

dy/y=x/(1 + x^2) dx

Integrieren (rechts logaritmische Integration)

ln |y|= 1/2 ln((1+x^2)) +c_1

ln |y|= ln((1+x^2)^{1/2}) +c_1

|y|= c_2 *(1+x^2)^{1/2}

y=C*(1+x^2)^{1/2}

Answer 2

Hi

Trennung der Variablen heißt nichts anderes, als die y und die x auf je eine Seite zu sortieren:


$$y'(1+x^2) = xy\quad\quad  |:y :(1+x^2)$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1+x^2}$$

Nun kann man y' auch schreiben als dy/dx, das ebenfalls sortieren und beide Seiten integrieren

$$\int \frac1y \;dy = \int \frac{x}{1+x^2} \;dx$$

$$\ln|y| = \frac12\cdot\ln(|1+x^2|) + c$$

Das 1/2, wie auch das kann man in den Logarithmus der rechten Seite ziehen (mit c = ln(d)

$$\ln|y| = \ln(\sqrt{1+x^2}\cdot d)$$

Logarithmus wegheben

$$y = \sqrt{1+x^2} \cdot d$$


Alles klar?


Grüße

Answer 3

y'(1 + x^2) = xy

y'=dy/dx

(dy/dx)(1 + x^2) = xy

dy/y= (xdx)/(1+x^2)

usw.