Trennung der Variablen DGL lösen

Question

Hallo ,kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Eigentlich beherrsche ich das Thema recht gut, komme aber nicht darauf, wie ich die Gleichung hier auflösen und nutzen muss.

x*y'-3y=x^2 y(1)=2

Answer 1

$$ xy'-3y=x^2 $$
$$ xy_H'-3y_H=0 $$
$$ xy_H'=3y_H $$
$$ \frac{ 1 }{ y_H  }  y_H'=3 \frac{ 1 }{  x } $$
$$ \int \, \frac{ 1 }{ y_H  }  dy =3 \int  \frac{ 1 }{  x } dx$$
$$ \ln \, y_H   =3  \ln{  x } +C^{**}$$
$$ \ln \, y_H   =  \ln{  x^3 } +C^{**}$$
$$  y_H   =   x^3 \cdot C^{*}$$
---
$$  y_P   =   x^3 \cdot C(x)$$
$$  y'_P   =   3 x^2 \cdot C(x)+x^3 \cdot C'(x)$$
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$$ xy'-3y=x^2 $$
$$ x( 3 x^2 \cdot C(x)+x^3 \cdot C'(x))-3( x^3 \cdot C(x))=x^2 $$
$$  3 x^3 \cdot C(x)+x^4 \cdot C'(x)-3 x^3 \cdot C(x)=x^2 $$
$$  x^4 \cdot C'(x)=x^2 $$
$$   C'(x)=x^{-2} $$
$$   C(x)=-x^{-1} $$
$$  y_P   =   x^3 \cdot C(x)$$
$$  y_P   =   x^3 \cdot (-x^{-1})$$
$$  y_P   =   -x^2$$
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$$y(x)=y_H+y_P$$
$$y(x)=x^3 \cdot C -x^2$$