DGL y'=y(1-y) mit Trennung der Variablen TdV lösen?

Question

versuche gerade vezweifelt die folgende Aufgabe zu lösen, aber nach nunmehr einer Stunde bin ich einfach nur am verzweifeln.

Wäre super lieb, wenn einer von euch mir das Schritt für Schritt vorrechnen könnte

Betrachten Sie die Differentialgleichung \( y^{\prime}=y(1-y), \) die das logistische Wachstum einer Population beschreibt. Skixzieren Sie das Richtungsfeld und typische Lösungen für geeignete Anfangswerte. Lösen Sie sie mittels Trennung der Variablen.
Hinweis: Es gilt \( \frac{1}{y(1-y)}=\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y} \)

Vielen lieben Dank

Tina

Comments

y' = y(1-y)

dy/dx = y(1-y)         | Trennung der Variablen

1/(y(1-y))  dy = dx           | Integralzeichen ergänzen

∫ 1/(y(1-y)) dy = ∫ dx         | Tipp verwenden

∫ 1/(y) + 1/(1-y)) dy = ∫ dx  

∫ 1/(y) - 1/(y-1)) dy = x + C

ln|y| - ln|y-1|  = x + C

Ein Problem sehe ich nun darin, das noch nach y aufzulösen. ( mehrere Fälle)

Es sei denn, man darf davon ausgehen, dass z.B. y≥1 ist.

EDIT: Blaue Korrektur gemäss Folgekommentar.

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Hallo Lu,

> ∫ 1/(y(1-y)) dy = ∫ dx         | Tipp verwenden 

∫ (1/(y)  + 1/(1-y)) dy = ∫ dx

...

VlG Wolfgang

Answer 1

DGL y'=y(1-y) mit TdV lösen?

Comments

Das Ergebnis kann man durch Kürzen durch c₁ noch etwas schöner schreiben:
y = e^x / (c₂ + e^x)   [ vgl. meine Antwort ]

Vorher stand hier "Kommentar gelöscht" , weil der Inhalt durch meine wesentlich ausführlichere Antwort ersetzt wurde.
Was soll also die völlig lächerliche SPAM-Markierung?

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@ Grosserloewe

Wie sich aus meiner Antwort ergibt, ist z.B.  y = e^x / (e^x - 1) eine Lösung der DGL mit D = ℝ \ {0}.

Setzt man diese in deine Zeile 10 ein, ergibt sich  - e^x = e^x+c = ...   !?

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EDIT: @Wolfgang. Markierung aufgehoben. Wenn du möchtest, dass ein Redakteur einen Post liest, meldest du. Dann kann er z.B. gelöscht werden. In dem Sinn hat der "Melder" wohl "Kommentar gelöscht" gemeldet.

Wenn du möchtest, dass etwas ausgeblendet wird, sage in einem Folgekommentar bitte exakt, was.

Answer 2

$$y'=y(1-y) \Rightarrow \frac{dy}{dx}=y(1-y) \Rightarrow \frac{dy}{y(1-y)}=dx \Rightarrow \left( \frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right) dy=dx \Rightarrow \int \left( \frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right) dy=\int dx \Rightarrow \ln{|y|}- \ln{|1-y|}=x+C$$

Answer 3

Hallo Tina,

bei der allgemeinen Lösung einer DGL spielen die Konstanten eine wesentliche Rolle. Deshalb sollte man sorgsam damit umgehen:

y' = y · (1-y)

dy/dx = y · (1-y)

∫ 1 / [ y · (1-y) ] dy  =  ∫ dx        [ y≠0  und y≠1 ,  vgl.  unten bei  # ]

∫ [ 1/y + 1/ (1-y) ] dy  = ∫ dx

ln(|y|) - ln(|1-y|) = x + c₁                                     mit c₁ ∈ ℝ

ln( |y| / |1-y| )  =·ln( | y / (1-y) | )  = x + c₁

 | y / (1-y) |  =   x + c₁ 

y / (1-y)  = ± e^x+c1 = ± e^c1 · e^x = c₂ · e^x          mit  ± e^c1  =  c₂ ∈ ℝ \ {0}

y = c₂ · e^x · (1-y)

y  =  c₂ · e^x -  c₂ · e^x · y

y + c₂ · e^x · y  =  c₂ · e^x

y · (1 +  c₂ · e^x)  = c₂ · e^x

y  =   c₂ · e^x /  (1 +  c₂ · e^x)   =  e^x / (c + e^x)     mit 1/c₂  =  c ∈ ℝ \ {0}

# Man sieht durch Einsetzen in die DGL leicht, dass auch  y = 1 [c=0]  eine Lösung der DGL ist.  y=0 kann offensichtlich nicht vorkommen. 

→  Allgemeine Lösung:  y = e^x / (c + e^x)   mit c∈ℝ  und 

                  D_y = ℝ  für c≥0     ,  D_y =  ℝ \ {ln(-c)}  für c<0

Gruß Wolfgang

Answer 4

  Das Integral auf der linken Seite geht mit Teilbruchzerlegung; Geheimtipp: Die Metode, welche in diesem Forum schon vorgestellt wurde als Abdecker-oder Zuhälterverfahren.