Hilfe bei Quadratischer Ergänzung?

Question

Hey ,

Ich wollte fragen ,ob mir jemand die Quadratische Ergänzung erklären könnte ?

Ich habe dazu eine Aufgabe bekommen , nur verstehe ich das Vorgehen dahinter nicht.

Ich würde mich freuen ,wenn mir jemand alles noch mal erklären könnte und mir bei der Aufgabe hilft.

Danke :)

Text erkannt:

Beispiel 1 Frgänze den Term \( x^{2}-10 x+\square \) so, dass man eine binomische Formel anwenden kann.
Lösung:
Losung: \( x^{2}-10 x+ \) mit \( a^{2}-2 a b+b^{2} \). Für \( a=x \) erhält man \( 2 b=10, \) also \( b=5 \).
$$ \begin{aligned} x^{2}-10 x+\square &=x^{2}-2 \cdot x \cdot 5+5^{2} \\ &=(x-5)^{2} \end{aligned} $$

Answer 1

Hi,

Wo genau hängst Du denn? Die Lösung bringt das eigentlich Vorbildlich zu Papier. Vielleicht nochmals in Worten:

Wir kennen die allgm Binomische Formel zu \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\).

Wir haben nun \(x^2 - 10x + ? = (? - ?)^2\)

Wir müssen also nun die Fragezeichen füllen. Dafür spickeln wir bei der allgemeinen Form und erkennen, dass \(a^2\) und \(x^2\) das gleiche ist. Folglich ist \(a = x\). Damit können wir ein Fragezeichen füllen.

\(x^2 - 10x + ? = (x - ?)^2\)

Weiterhin sollten wir den mittleren Term wie in der allgmeinen Form schreiben:

\(2ab = 10x\)

\(2ab = 2\cdot x\cdot 5\)

Damit haben wir nun das \(b\) gefunden. Und \(b^2 = 5^2 = 25\) ist ebenfalls klar.

Das lässt nun oben alles ausfüllen:

\(x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2\)

Klar?

Comments

Klar , Dankeschön!

Und das in Worten war sehr hilfreich !

:)

Answer 2

Um die quadratische Ergänzung zu finden, halbiert man die Zahl vor x und quadriert das Ergebnis. Im Beispiel ist 10 die Zahl vor x. Diese halbiert ergibt 5 und das Quadrat von 5 ist 25. Also lautet die quadratische Ergänzung 25.

Allgemein heißt im Term x²+bx die Zahl vor x natürlich b. Diese halbiert ist b/2 und das Quadrat von b/2 ist b²/4. Um dies zu verstehen, schreibt man die 1.binomische Formel

(x+ b)² =x²+ [2b]x + b² und die Aufgabe

(x+(_))²=x²+[10]x+(_)² direkt untereinander.

Dann sieht man, dass [2b]=[10] sein muss. Das gilt nur dann, wenn b=5 ist.

Jetzt füllt man b=5 in (  )  ein:

(x+(5))²=x²+[10]x+(5)².

Der letzte Summand 5² ist die quadratische Ergänzung.

Comments

Vielen Dank !

Ich hab’s nun verstanden :)