Sind die Folgen an=2! und bn=1/3^n monoton steigend oder monoton fallend?

Question

Aufgabe 1:

Sind die Folgen monoton steigend oder monoton fallend?

Sind die Folgenden \( \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2 ! \) und \( \mathrm{b}_{\mathrm{n}}=1 / 3^{\mathrm{n}} \) monoton steigend oder monoton fallend?

Aufgabe 2:

Bestimme die obere und untere Schranken der Folgen a_n und b_n von Aufgabe 1

Answer 1

1)

Steht da wirklich nur a_n = 2! ?

Wenn ja, dann:

Monotonie: a_n+1 - a_n = 2!-2! = 0

a_n ist also eine konstante Folge und daher weder steigend noch fallend. Die Schranken sind die Konstante selber, also 2! = 2.

 

2)

b_n+1 - b_n = 1/3⁽ⁿ⁺¹⁾-1/3ⁿ = (1/3)ⁿ * 1/3 - (1/3)ⁿ  = -2/3 * (1/3)ⁿ < 0 für alle n

b_n ist also eine monoton fallende Folge. Obere Schranke ist 1 für n = 0, untere Schranke ist 0 für n→∞.